初中數學應用問題中滲透數學建模思想的策略研究

鞏玉英 田承恩

摘要：“數學建模”是解決中學數學應用問題的常見方法，其主要是指利用抽象思維、簡化手段、假設條件和變量關系引進等數學解題思維，用數學方式對數學實際問題進行表達，通過模型方法求解的解題方式。本文重點針對初中數學應用問題中滲透數學建模思想的策略展開研究，并以“魯教版”初中數學為例，筆者結合相關實例提出自己的思考與啟發，希望通過以圖建模，培養學生的審題能力；通過類比轉化建模，培養學生的應用意識；針對“最近發展區”建模，促進學生思維的發展，有效激發學生學習興趣，提高分析問題和解決問題的能力，提升初中數學教學成效。

關鍵詞：初中數學；應用問題；數學建模思想

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）11-0155

核心素養教育視角下，初中數學課堂教學也應因時而變、因材施教，尤其對于正處于初中階段的學生而言，在數學教學中更要有意識地激發和培育學生的學習意識，因此教師在課堂教學時的側重點不應只是過度關注學生的數學學習成績，而是通過對數學建模思想的有效滲透和應用，鼓勵學生在中學數學學習中有效應用建模思想，借助數學模型有效解決數學問題，培養數學思維意識，提高學習效能。正如著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究和運用。”誠然，數學建模思想是貫穿于初中數學、高中數學乃至高等數學教學中的一種重要學習思維和方法，在數學建模教學中，教師要多引導學生學數學、做數學以及用數學，這對于提高學生數學成績，培養學生創新思維意識，引導學生由“應試教育”轉向“素質教育”具有重要意義。

一、以圖建模，培養學生審題能力

在初中數學教材中應用問題較多，其中包含了很多數學信息，而題干涉及的文字也繁多，這在無形為對學生的信息篩選能力和題干信息的閱讀和理解能力增加了很多困難。對于一些相對復雜的數學應用題，學生需要對相關隱含信息內容進行轉換，并將其轉化為數量關系、數學符號或已知的數學變量，因此建立數學模型尤為重要。學生在解決這類數學應用問題時，可通過圖標建模在圖表或圖形中獲取相關的解題數據信息，也可借助數學圖表、相關數學圖形等轉化變量之間的關系，結合數量關系列等式。這樣一方面能夠有效培養學生的審題能力，另一方面還可增強學生對相關數學問題已知、未知數據的處理能力。

例如，在講解初中數學中的行程應用問題時，教師可通過畫線段的方式引導學生根據圖形找數量關系。如甲、乙二人同時從相距18公里的西村和東村出發，已知甲每小時行走14公里，并在2h后可以追上乙，那么請問乙每小時行走多少公里？對于這類題型，先假設乙每小時行走x公里，然后可以圖建模：

根據圖1中數學模型，即可得到等式關系：18+2x=28，x即等于6公里。

二、類比轉化建模，培養學生應用意識

與其他學科相比，數學與學生的日常生活實際聯系最為緊密，而在初中數學應用問題教學實踐過程中，關鍵和重點是要培養學生的應用意識，即通過分析問題和解決問題培養學生“用數學”的意識，使其自然而然地學會將數學知識與日常生活實際相聯系。但有些初中數學知識點復雜，無法直接建立模型，針對此類應用問題需要引導學生多角度思考，培養學生的數學思想、數學精神以及數學處理方法，通過類比轉化建模，讓學生學會在數學解題過程中學以致用。

例如，在一元一次方程的教學過程中，有如下應用問題：A和B每天晚上在學校的環形跑道中跑步鍛煉身體，已知該環形跑道的長度為400米，其中，A和B平均每秒鐘分別跑5m和7.5m。有一天晚上，B對A說：“我比你速度快，這次你可以先跑25m，然后我們再一同開始跑。”那么請問：1. A和B同時同向出發，兩人需要多長時間才能相遇？2.在2點和3點之間，若時針和分針重合，此時會是什么時刻？3.在2點和3點之間，請問時針和分針若要成直角或平角，需在什么時刻？

此類數學應用題考查的是學生對一元一次方程的應用及數學變式關系的應用，而在初中數學中，這兩種基本問題可以實現類比轉化，只要引導學生建立如下圖所示的數學模型，即可讓學生更加直觀地找出題目中所隱含的數學等量關系，也可直接將鐘表中的數學問題轉化為生活中的追擊問題，這種解題思路難度適中，更加貼近學生的日常生活實際，通過建模解題可增強學生的自信心，幫助學生樹立數學思維意識，使其在解題中由被動變主動，有效激發學生的學習興趣。

三、針對“最近發展區”建模，促進學生思維發展

近年來，在新課改背景下，初中數學教學更加強調對學生核心素養能力的培養，尤其是初中數學，其知識點多、內容繁雜，學生理解起來相對比較困難。以初中數學應用問題的教學為例，教師通過數學建模，即可通過解題方法創新，針對“最近發展區”建模，培養學生的數學思想，創新解題意識。

比如，某工廠有22名工人生產螺母和螺釘，其中每個工人每天平均可以生產2000個螺母和1200個螺釘，已知1螺釘可配2螺母，為了使螺釘和螺母正好完全配套，請問該工廠每天至少應該分配多少名工人生產螺釘和螺母？

很顯然，此類問題也屬于應用型數學題，數學題干內容來源于學生的日常實際，所以在解決這類數學問題時，教師要打破常規，不能盲從課本知識，尋找學生的“最近發展區”，根據學生興趣建立數學模型，讓學生聯系實際，引導學生列表格、畫示意圖等對相關數學問題關系進行表征，根據不同類型的應用題，建立不同的數學模型。在此題中，可讓學生假設該工廠每天生產螺釘至少需要x人，由此可根據上述已知題意列出如下表格模型。

通過上述圖表建模方法，可啟發和引導學生多去深入思考與題目內容相關的概念、條件或結論等，以圖表建模優化數學應用問題解題策略。

對于初中學生而言，在自主探究與實踐中能夠激發學生學習數學的興趣，在體驗中加深對知識的印象，從而獲得學習的成就感。尤其是在初中數學教材中，應用問題包含數學信息文字繁多，無形中會對學生閱讀和理解能力產生影響。但毋庸置疑，數學是一門與學生日常生活聯系最為緊密的基礎學科，其更加強調學生的綜合學習能力與數學邏輯思維。而數學建模思想是一種有效的解題策略，建模的本質與核心在于引導學生掌握數學知識學習方法和數學應用題解題技巧，通過不同方式建立合適的數學模型，有助于培養學生的想象力、觀察力和創新創造能力，塑造學生的核心素養。因此，在初中數學應用問題的教學中，教師的根本任務就是要有意識地培養學生的建模思維能力，通過分析、解決問題引導學生善于“用數學”，并自然而然地學會轉化數學問題。只有積極改變策略，踐行新課改教育指導精神，更加注重對學生核心素養能力的培養，才能指導學生通過數學建模和解題方法創新培養數學思想，創新解題意識。

通過以上案例分析及論述可以看出，數學建模能力的培養不是一蹴而就，應在平時點點滴滴的學習中進行長期的滲透和積累。因此，在教學實踐過程中，教師要善于對學生學習技能進行培養，積極轉變教學方法和思路，引導學生在數學學習過程中，多從生活實際出發，多觀察和總結身邊的數學，將實際問題與數學問題相結合，在解決數學問題時，要從多角度入手，學會運用數學模型分析問題與思考問題，借助數學模型將具體問題簡單化，真正提高解題能力，激發學生學習數學的樂趣，促進學生多方面數學能力的提升，使學生可以學習和運用有用的數學知識，產生巨大效益，并使學生終身受益。

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（作者單位：山東省淄博市桓臺縣城南學校256400）