有效操作：為學生的數學學習導航

王秀銀

摘? 要：有效的、可視化的數學操作不僅僅是讓學生“動手做”，更重要的是要調動學生的數學思維、催生學生的數學想象。經驗操作、思維操作和想象操作為學生的數學學習啟航、領航、續航。作為教師，要為學生的數學操作護航，將學生的操作與思考、觀察、表達等結合起來，實現數學學習的再創造。

關鍵詞：小學數學;有效操作;學習導航

動手操作是增進學生數學知識、發展學生數學技能的重要載體、媒介，是有效地發展學生數學思維、提升學生數學學習、發展學生數學核心素養的金橋。有效的、可視化的數學操作不僅是讓學生“動手做”，更重要的是要調動學生的數學思維、催生學生的數學想象。動手操作體現了學生數學學習手腦的協同，表征了學生數學學習經驗、表象、表征、直觀、遷移、再造等深度融合。

一、經驗操作：為學生的數學學習啟航

經驗是學生數學操作的根基，經驗性的操作，能開辟通道，為學生數學學習啟航。在數學教學中，操作不能遠離學生的經驗，而應當與學生的經驗相契合。只有切入學生的經驗系統，操作才是有效的，才能引發學生的認知興趣，激發學生的認知沖突，煥發學生的思考、探究激情。

瑞士心理學家皮亞杰認為，“操作是智慧的發端”。只有聯通學生的經驗進行操作，才能深化學生的數學認知、理解。比如教學“三角形的內角和”（蘇教版四年級下冊），教師就可以基于有形的“測量”“剪拼”等方法引導學生進行經驗性操作。在操作過程中，有學生建議按照三角形的分類，分別對銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形進行測量。通過量角器的測量、計算，學生發現三角形三個內角的度數和始終在180°左右。有學生將三角形的三個角折起來，形成了一個平角加以證明;還有學生將三角形的三個角撕下來合在一起，也拼成了一個平角，等等。經驗性操作，讓學生認可了“不同的三角形，它們的內角和都是180°”的規律。在經驗性操作中，不僅可以讓學生動手，而且可以讓學生動眼、動耳。只要充分調動學生的多種身體感官，就能充分釋放學生內在的操作力。只要聯通學生的經驗，操作就能提升學生的整體學習效能。

經驗性操作是一種最為基本的操作，能為學生的數學學習啟航。經驗性操作，不斷刺激學生的大腦皮層，從而喚醒學生的經驗，讓學生的經驗不斷地處于活躍狀態。當然，這里所指的經驗，不僅包括知識經驗，還包括技能經驗、思想方法經驗等。鏈接學生經驗的操作，能讓學生的操作潛能綻放、釋放。

二、思維操作：為學生的數學學習領航

對于“操作”，筆者認為，教師不能將其做機械的、形而下的理解，將“操作”降格為簡單地“動手做”，甚至狹隘地理解為“勞作”。實際上，數學意義上的“操作”，一刻也離不開學生的思維。只有手腦協同的做思共生的操作，才是本真意義上的操作。事實上，學生的動手操作絕不可能也絕不僅僅是用手做，還應該包括用腦思。正因為如此，我們認為，思維性操作能為學生的數學學習領航。

比如教學“十幾減九”（蘇教版一年級下冊），筆者給學生提供了齊性的學具——小棒，讓學生探索“13減9”的計算方法。不同的學生，其思維路向、思維特點是不同的。有的學生先拿掉一捆小棒以外的3根，再從一捆小棒里拿掉6根，得到還剩下的4根;有學生先從一捆里拿掉9根，再將剩下的1根與3根合并起來，得到了4根;還有的學生一開始就將一捆小棒拆開來，變成了松散的13根，然后用數數的方法一根一根地拿，最后拿掉了9根，得到了剩下的4根，等等。不同的學生，其外顯的操作形式是不同的，反映了學生的內隱思維也是不同的。除了一根一根地數之外，其余的兩種方法都表現了學生的創造性思維，都具有重要的方法性價值。根據第一種操作方法，筆者引導學生建構了“平十法”的算法模型;根據第二種操作方法，筆者引導學生建構了“破十法”的算法模型。正是通過思維性操作，讓十幾減九的算法探究水到渠成。

操作無思維則盲，思維無操作則空。操作是學生數學學習的外在表現形態，思維是學生數學學習的內在心理運行方式。操作為學生的思維提供了外援幫助，思維為操作提供了內源支撐。思維性操作，不僅釋放了學生的操作潛質，更釋放了學生的思維潛質。從某種意義上說，只有思維性操作，才能讓學生達到對數學知識的本質理解。

三、想象操作：為學生的數學學習續航

感知操作、經驗操作能讓學生獲得豐富的表象，常常能為學生的數學學習提供向導。而思維操作則是對數學材料的深度加工，能對學生的數學學習進行領航。在學生的數學學習之中，還有一類特別的操作，這就是想象操作。想象操作不同于感知操作、經驗操作、思維操作等的現實操作，想象操作是一種可能的操作，因而能為學生的數學學習續航。

愛因斯坦這樣說，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力卻能概括世界上的一切，并且推動著科學進步”。比如教學“正方體的展開圖”（蘇教版六年級上冊），筆者發現，許多教師重視學生的動手操作，但沒有將操作和想象結合起來，導致這樣的操作淪落為學生的機械操作、盲目操作，從而不能有效地發展學生的空間觀念。筆者在教學中，將學生的想象與操作結合起來，引導學生一邊操作、一邊想象。通過對許多正方體不同展開方式的展開圖的比較，學生發現，相對的面如果在同一行或者同一排，中間就只隔一個面;而相對的面如果不在同一行或者同一列，中間隔著一些面。有了這樣的發現，筆者引導學生進行反向操作。通過出示一些正方體的不同的展開圖，讓學生看著展開圖直接想象并說出哪些面是相對的，哪些面不是相對的，哪些面是相鄰的。在此基礎上，讓學生將正方體的展開圖還原成正方體。通過這樣的正反兩方面的操作，能深化學生的操作感受、體驗。在想象操作中，有學生還對正方體的展開圖進行了歸類，比如“141型”的（即兩邊分別是一個正方形，中間有四個連著的正方形），比如“231型”的、“222型”的、“33型”的，等等。

當操作遇上想象，當想象與操作共舞、齊飛時，就能延展、擴充學生的認知。正是在這一意義上，我們認為，想象操作能為學生的數學學習續航。

作為教師，要主動介入，為學生的感知操作、經驗操作、思維操作和想象操作護航。在數學教學中，要充分發揮操作的多樣化、多功能性的效能，將學生的操作與思考、觀察、表達等結合起來，實現數學學習的再創造。