運(yùn)用“畫(huà)圖”策略，讓數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì)直觀化

吳梅珍

摘? 要：畫(huà)圖是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要策略，不僅可以運(yùn)用在抽象概念的理解上，而且還可以運(yùn)用在抽象算法的直觀理解上，以及運(yùn)用在復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)系揭示上。借助畫(huà)圖，能讓抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀、繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)易。通過(guò)畫(huà)圖，可以積淀學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);畫(huà)圖策略;本質(zhì)直觀

畫(huà)圖是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要策略。通過(guò)畫(huà)圖，能將抽象的問(wèn)題具體化，將本質(zhì)的問(wèn)題直觀化，從而幫助學(xué)生厘清思路，找到問(wèn)題解決路徑。著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體性地把握了問(wèn)題。”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形進(jìn)行思考。同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有意識(shí)地滲透畫(huà)圖的策略，幫助學(xué)生積累畫(huà)圖活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)畫(huà)圖策略的運(yùn)用，助推學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、借助畫(huà)圖，讓抽象的概念本質(zhì)直觀

圖形，因?yàn)槠渲庇^、形象的特點(diǎn)而備受學(xué)生的歡迎。著名數(shù)學(xué)教育家華羅庚曾經(jīng)這樣說(shuō)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”對(duì)于一些較為抽象的數(shù)學(xué)概念，用語(yǔ)言難以言說(shuō)清晰時(shí)，不妨借助畫(huà)圖的策略，就能促進(jìn)學(xué)生理解本質(zhì)。通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生能感受到圖形在問(wèn)題解決中的作用，體驗(yàn)到圖形在問(wèn)題解決中的優(yōu)越性。

比如教學(xué)“倍數(shù)和因數(shù)”（北師大版五年級(jí)上冊(cè)），如何讓學(xué)生找全“12的因數(shù)”？如何讓學(xué)生深刻理解“一個(gè)數(shù)的因數(shù)”的概念？如何讓學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)的因數(shù)的幾何意義”？教學(xué)中，筆者讓學(xué)生在方格紙上，畫(huà)出面積為12平方厘米的長(zhǎng)方形。不同的學(xué)生，畫(huà)出了不同規(guī)格的長(zhǎng)方形。通過(guò)全班交流，學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)越長(zhǎng)，寬就越短;長(zhǎng)方形的長(zhǎng)越短，寬就越長(zhǎng)。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)，就是以這個(gè)數(shù)為面積的所有的規(guī)格的長(zhǎng)方形的整數(shù)長(zhǎng)和整數(shù)寬。此時(shí)，因數(shù)對(duì)學(xué)生而言，不再僅僅是一個(gè)概念，而是獲得了圖形的意義支撐。圖形的介入，幫助學(xué)生建立了一個(gè)數(shù)的因數(shù)的直觀表象，為學(xué)生解決這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如“把48塊月餅裝在盒子里，每個(gè)盒子裝同樣多，有幾種裝法？每種裝法各需要幾個(gè)盒子？”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中，還能自主發(fā)現(xiàn)一種特殊情況，即有一種長(zhǎng)方形的面積，它的長(zhǎng)、寬為整數(shù)的長(zhǎng)方形規(guī)格只有一種，從而為學(xué)生進(jìn)一步研究“找質(zhì)數(shù)”，進(jìn)行了有效鋪墊。

為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，借助相應(yīng)的幾何直觀，將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，能讓學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)視角去認(rèn)識(shí)和把握概念。這樣，不僅能讓學(xué)生獲得對(duì)概念的直觀感知，而且能幫助學(xué)生建立抽象概念的圖形表象，從而能讓學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)概念、主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。

二、借助畫(huà)圖，讓抽象的算法本質(zhì)直觀

畫(huà)圖是一種解決問(wèn)題的策略，不僅可以運(yùn)用在抽象概念的理解上，而且可以運(yùn)用在抽象算法的直觀理解上。“算法抽象、算理直觀”是計(jì)算法則教學(xué)的根本原則。在計(jì)算教學(xué)中，借助圖形，能讓學(xué)生更為清晰地理解算法。如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只是機(jī)械地識(shí)記算法、套用算法，那么，這種算法對(duì)學(xué)生而言就是無(wú)意義的。而如果學(xué)生借助圖形直觀地理解了算理，建構(gòu)了算法，那么算理與算法就能相得益彰。

三、借助畫(huà)圖，讓復(fù)雜的問(wèn)題本質(zhì)直觀

對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決來(lái)說(shuō)，畫(huà)圖是一種重要的策略。圖形，不僅能表征復(fù)雜的問(wèn)題，而且能幫助學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題分析，厘清數(shù)量之間的關(guān)系。借助圖形，能喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，搭建數(shù)學(xué)已有和未知之間的橋梁。在畫(huà)圖的過(guò)程中，學(xué)生能主動(dòng)地摘錄條件、問(wèn)題，從而意向性地厘清數(shù)量關(guān)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)由外顯的畫(huà)圖策略，將問(wèn)題內(nèi)化于心時(shí)，一種解決問(wèn)題的意向、意識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、策略也就能相應(yīng)地生成。

比如教學(xué)“正比例和反比例”（北師大六年級(jí)下冊(cè)）的應(yīng)用題，通常情況下數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，有的甚至比較隱晦。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)圖，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、感性化。如“甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地相向而行，到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后，立即返回。在離A地60米處第二次相遇，甲、乙兩人的速度比是2∶3，A、B兩地的距離是多少米？”在畫(huà)圖的過(guò)程中，學(xué)生要考慮誰(shuí)的速度快一些，誰(shuí)的速度慢一些，因此相遇點(diǎn)應(yīng)該位于中心點(diǎn)的哪邊，只有把握了這一點(diǎn)，學(xué)生才能畫(huà)出符合題目原意的圖。通過(guò)圖形，學(xué)生能直觀地看到，甲、乙兩人所行路程不一樣，所行速度不一樣，而所行駛的時(shí)間是一定的。基于此，學(xué)生借助圖形進(jìn)行直觀分析：到第一次相遇時(shí)為止，兩個(gè)人的路程和正好是一個(gè)全程;而到了第二次相遇時(shí)為止，兩個(gè)人的路程和是三個(gè)全程。其中，甲所行的路程為2份，乙所行駛的路程為3份，三個(gè)全程一共是5份。因此，一個(gè)全程就是份。從而，學(xué)生借助圖形，就是找尋到60米所對(duì)應(yīng)的份數(shù)或者說(shuō)所對(duì)應(yīng)的分率，從而能有效地解決問(wèn)題。在畫(huà)圖的過(guò)程中，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到圖形的意義和價(jià)值。畫(huà)圖，能為數(shù)學(xué)教學(xué)增添光彩。

形無(wú)數(shù)則盲，數(shù)無(wú)形則空。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生缺乏思路時(shí)，就可以借助圖形來(lái)助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。通過(guò)圖形，學(xué)生能將百思不得其解的問(wèn)題，直觀地進(jìn)行分析，從而能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)頓悟。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生邊畫(huà)圖、邊思考，邊思考、邊畫(huà)圖，從而讓圖形真正成為學(xué)生理解題意和分析數(shù)量關(guān)系的輔助手段。

“畫(huà)圖策略”是小學(xué)數(shù)學(xué)眾多解決問(wèn)題策略中的一種最為重要的策略，也是一種基本策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生搭建數(shù)與形、形與形之間的橋梁，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉。借助畫(huà)圖，能讓抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀、繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)易。通過(guò)畫(huà)圖，積淀學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。