高中數學直觀想象素養能力的培養與研究

張舒

[摘? 要] 在高中數學教學中，培養學生的直觀想象素養能力，就是高中數學教師的一項重要任務. 直觀想象素養能力的培養，需要重視學生在數學學習中表現出來的思維特點，只有學生在數學學習的過程中能夠讓生活經驗有效地變成先行組織者，能夠有效地讓自己的元認知去監控、調節并設計學習內容，那么學生的直觀想象素養能力的培養也就有了一個比較堅實的基礎. 在高中數學教學中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時候，要意識到這就是一個重要的直觀想象素養能力培養的契機. 高中數學學科核心素養的每一個要素的落地，都需要放在核心素養的體系中來理解與實施.

[關鍵詞] 高中數學;直觀想象;素養能力;培養研究

在高中數學教學中，核心素養的培育已經成為當前的主題，而根據《普通高中數學課程標準》的界定，高中數學學科核心素養包括六個核心素養要素，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析等. 其中，直觀想象原本是指幾何直觀和空間想象，在當前的語境下又被理解為借助空間想象感知事物的形態與變化，并利用幾何圖形理解和解決數學問題的能力素養. 通常認為，幾何直觀是發現和提出數學命題、理解數學命題、探索論證思路的重要輔助手段，是建構抽象結構和進行邏輯推理的思維基礎，是建立數學直覺的基本途徑. 因此在高中數學教學中，培養學生的直觀想象素養能力，就是高中數學教師的一項重要任務. 筆者在教學中，基于高中數學直觀想象素養能力的培養，進行了理論與實踐兩個方面的探究，取得了非常重要的認識.

作為素養的直觀想象的理論建構

作為高中數學學科核心素養六個要素中的重要的組成部分，直觀想象與其他要素不同的地方在于，其既涉及具體的數學學科知識——幾何直觀（當然包括了數形結合的思想在內），也涉及思維的重要組成部分——想象是重要的思維能力，基于已有的現實進行有效的想象，是學好數學的基礎. 這一結論得到了理論的充分證明，有關直觀想象能力發展的幾何學習理論主要有范希爾的幾何思維發展模型和杜瓦爾的幾何認知關系模型. 直觀想象能力的培養除了應重視關鍵期的數學教學，還要提供恰當的“先行組織者”，激發學生的元認知監控、調節，設計適當的探究性問題.

所以從很大程度上來看，直觀想象素養能力的培養，需要重視學生在數學學習中表現出來的思維特點，只有學生在數學學習的過程中能夠讓生活經驗有效地變成“先行組織者”，能夠有效地讓自己的元認知去監控、調節并設計學習內容，那么學生的直觀想象素養能力的培養，也就有了一個比較堅實的基礎.

眾所周知，函數是高中數學的一個重要內容，函數知識的學習與數學直觀素養能力有著非常密切的關系. 雖然說函數的特征，相當一部分內容是由語言公式來表示的，但是函數的圖像，卻是學生理解函數特征的一個重要載體. 也恰恰是函數的圖像，是學生學習函數知識的一個難點，尤其是在遇到復雜函數的時候，相當一部分學生無法寄予函數的解析式或其他知識，去迅速而有效地反映出該函數的圖像是什么樣子.

以對數函數為例，如果說學生能夠通過機械記憶等方式去記住對數函數的概念與解析式的話，那么在理解對數函數的圖像時，只靠機械記憶顯然是沒有任何用處的. 很多時候教師都會用習題訓練或者重復記憶的方法，來幫學生進行所謂的鞏固. 嚴格來講，這其實不是一種有效的教學策略，只是用學生在學習中表現出來的比較低級的重復記憶的方法，來讓學生對對數函數的圖像形成刻板的記憶. 相反，如果能夠有效地借助于直觀想象素養能力，那么就可以引導學生在認識對數函數的圖像時，走入佳境. 同時在這樣的一個過程中，又為學生創設了一個直觀想象素養能力培養的契機，于是對數函數的圖像與直觀想象素養能力的培養就形成了一個相互促進的關系.

從理論的角度來看，這一思路是有效的. 因為既然以直觀想象素養能力作為重要的思路，那就可以有效地讓學生的元認知去監控自己的學習過程，同時讓大腦中的“先行組織者”充分地發揮作用.

指向能力的直觀想象的實踐探究

基于上述理論分析的思路，筆者在教學實踐中進行了積極的探究. 上面以對數函數的教學為例，來談談如何在對數函數圖像的學習過程中，讓學生的直觀想象素養能力得到有效的培養，同時又以直觀想象素養能力，來為對數函數圖像的學習提供有力的支撐. 需要指出的是，在實踐探究的過程中，筆者還積極借鑒他人的研究思路，從而嘗試讓自己站在別人的肩膀上，能夠看得更遠. 有同行認為，基于直觀想象素養能力的培養，可以結合課堂教學從培養學生建立數形聯系呈現幾何直觀、借助特殊模型積累空間想象以及理解圖像特征迸發直觀洞察三個方面闡述如何培養直觀想象素養，并促進學生各種數學能力的提升.

其實，對數函數的圖像學生學起來之所以覺得困難，一個很重要的原因就在于：相對于基本函數而言，作為指數函數的逆函數，學生在學習的時候，需要對對數函數的定義、解析式等進行綜合的加工，然后在此基礎上，有效地形成直觀性的認識，進而再進行有效的想象. 這樣，直觀想象素養能力的提升，就有了一個可靠的載體. 在具體的教學過程中，可以分成這樣的幾個環節：

第一個環節：以一個簡單的對數函數為例，如y=log2x，讓學生結合這個例子，對照對數函數的概念與定義，尤其是在定義域內，通過想象與計算，去確定一些基本的同時具有一定代表性的點. 如果不出意外，這個時候絕大部分學生都會通過心算的方法，在大腦里面去選出一些簡單的、基本的數據，然后確認這些點就在函數的圖像上. 調查研究表明，盡管找到了這些點，這個時候相當一部分學生仍然無法想象出對數函數的圖像是什么樣子. 于是就要下一步設計.

第二個環節：這個環節的主要任務是讓學生進行對比，對比的對象就是指數函數，因為對數函數是指數函數的冪函數，而經過此前一段時間的學習，學生對指數函數的認識已經比較充分，尤其是對指數函數的圖像，已經有了一個清晰的表象. 所以這個時候，讓學生進行比較，實際上就是用學生的元認知，去監控指揮學生自身的學習. 這個環節在實施的時候，可以讓學生去比較y=2x和y=log2x，比較的過程中學生會逐步發現，同一個坐標對應的兩個不同函數的點，似乎存在著一種對應的關系. 等到學生有這個認識的時候，教師就鼓勵學生大膽地進行想象——這個想象其實就是基于直觀的想象，是學生在大腦中基于指數函數的圖像去構思對數函數圖像的過程.

教師此時要觀察學生的學習過程，筆者在巡視學生學習的時候，見不少學生在草稿紙上能夠初步的作出比較粗糙的指數函數與對數函數的圖像，且學生已經猜想出兩者之間可能存在著某種對稱關系時，筆者再趁熱打鐵，借助于多媒體用Excel去生成圖形，結果發現電腦生成的圖形與自己的想象基本一致，這實際上也就確認了學生的想象是正確的.

通過上述過程，學生的直觀想象素養能力得到了培養，同時對數函數圖像的建構又得到了有效的實施，因此這樣的一個教學過程是有效的.

在核心素養體系中培養直觀想象

反思以上這樣一則教學案例，筆者得出了一個重要的認識，這就是在高中數學教學中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時候，要意識到這就是一個重要的直觀想象素養能力培養的契機. 無論是純粹的圖形或者圖像知識的學習，如幾何知識的學習，還是數形結合相關的知識的學習，如函數知識的學習，都孕育著豐富的直觀想象素養能力培養的機會.

而結合高中數學學科核心素養，比較體會更深的一個認識就是：高中數學學科核心素養的每一個要素的落地，都需要放在核心素養的體系中來理解與實施. 直觀想象素養能力，作為與數和形直接相關的一種能力素養，將其置于數學學科核心素養的體系當中，可以發現他與其他的要素，實際上也是存在許多密切的關系的. 比如說其與邏輯推理之間的關系，就與思維中的邏輯思維與直覺思維的關系非常類似，這也就給直觀想象素養能力的培育提供了一個新的視角.

同時在數學學科核心素養這個體系中，還需要高度重視學生的主體地位. 在建立以學生為主體、教師為輔的數學學習活動中，直觀想象有利于促進學生的知識與能力形成，有利于提高學生分析和解決問題能力，從而養成良好的數學思維習慣、創新意識以及應用數學意識與欣賞數學之美. 很顯然，這是一種綜合性的描述，在數學學科核心素養體系的背景之下，無論是選擇哪個要素作為突破口，都可以有效地帶動其他要素的落地.

以上是筆者基于高中數學直觀想象素養能力的培養與研究所形成的一些淺顯認識，所總結的內容如果存在一些不妥當的地方，還希望得到專家同行的批評指正.