以有效習題設計提高轉化能力的策略探究

摘 要：轉化是小學數學學習中常用的策略，根據從已知到未知，從簡單到復雜，可以使問題化繁為簡，化難為易。本文從有效習題設計的角度，淺談轉化的一般策略。

關鍵詞：轉化;化繁為簡;化新為陳;數形結合;化隱為顯;等量變化

一、 在練習中感知轉化的一般規則

（一）化繁為簡

在解決問題的過程，利用轉化的策略可以將較為復雜的問題轉化為簡單的問題，從而獲得解決復雜問題的基本思路。學生在學習簡便運算時就是運用的化繁為簡的轉化規則。

【習題1】計算下面各題，怎樣簡便怎樣算。

（1）75×1.25+12×1.25+13×1.25

（2）34+29+79

【說明】第（1）題可以運用乘法分配律，將較為復雜的小數乘法計算轉化為100×1.25這樣整百數乘小數的計算。第（2）題利用加法結合律，變為計算34+29+79，從而將原題轉化為分數加整數的計算。這兩題從計算的角度而言都屬于舊知，但是都采用了轉化的策略，將復雜的問題轉化成簡單的問題，從而幫助學生從數學思想方法上再度認識簡便運算。

（二）化新為陳

學生在學習過程中面對全新的知識，需要一定的基礎知識儲備和基本經驗準備，這些基礎知識、基本經驗的積累是學生探究新問題的基礎。在教學中，要引導學生將陌生的新問題盡可能轉化成熟悉的舊問題，幫助問題的解決。

【習題2】11. 求涂色部分的面積。（單位：cm）

【說明】此題是練習十六第11題。兩小題中涂色部分都是不規則的圖形，涂色部分的形狀顯然不是學生熟識的，其面積的計算方法對學生而言是個全新的問題。解決此類問題要指導學生盡量將全新的、不規則的圖形轉化為熟悉的、規則的平面圖形，這也是轉化策略的基本思想。在本題中，根據觀察可見，第1小題可將左右兩側的半圓通過旋轉運動至圖中空白部分，從而將涂色部分的面積轉化為邊長是4厘米的正方形的面積。第2小題圖中的左下方的涂色部分可以通過旋轉至右上方，從而將涂色部分面積轉化為底和高都是12厘米的直角三角形的面積。

（三）數形結合

數學家華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”在研究數學問題時，由數想形，由形思數，數和形之間的相互轉化、相互依托，常常會打開數學研究的新局面。教師在教學中要引導學生通過數與形的轉化，發現數學本質。

【習題3】7. （1）觀察下面每個圖形中圓的排列規律，并填空。

1=1×1

1+3=4=2×2

1+3+5=9=3×（）

1+3+5+7=（）=（）×（）

（2）根據上面的規律用簡便方法計算。

1+3+5+7+9+11

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

【說明】此題是教材練習十六第7題，觀察每個圖形中的排列規律，圓的個數總和既可以看成是從1開始的連續個奇數相加，也可以看成是正方形邊長與邊長的乘積（邊長的平方）。引導學生將圖和算式進行比較，發現加法算式中加數一共有幾個，正方形的邊長就是幾;而連加算式的結果就是正方形邊長的平方。在數形結合的基礎上尋找出規律后再解決第（2）小題的簡便計算，學生就易于理解了。關于圓的排列規律還不致如此，如果教師放手請學生觀察2×2、3×3、4×4的三幅點陣圖，還能發現如下規律，從而豐富學生對轉化策略的理解。

2×2=1+2+1

3×3=1+2+3+2+1

4×4=1+2+3+4+3+2+1

（四）化隱為顯

在解決問題的過程中，有時看似解決問題的條件不具備，其實往往是呈隱形狀態，如果能根據已有條件，尋找出必要的隱形條件，問題就迎刃而解了。

【習題4】如圖，三角形ABC是一個直角三角形，已知陰影部分b的面積比陰影部分a少23平方厘米，求BC的長是多少？

【說明】初讀題目，覺得此題中BC的長度難以求得，因為三角形ABC的面積未知。仔細分析已知條件，結合圖示，根據條件“陰影部分b的面積比陰影部分a少23平方厘米”，不難發現由于半圓和三角形重疊，都有共有的部分即圖中空白部分，所以三角形ABC的面積比半圓少23平方厘米。尋找到這個必要的隱藏條件，問題就迎刃而解了，只需要計算出半圓的面積是π×102÷2=157（平方厘米），就可以求出三角形

ABC的面積是157-23=134（平方厘米），故而BC的長為134×2÷20=13.4（厘米）。學生在今后的學習中經常會遇到隱藏條件的問題，如表面積的變化、體積的變化中，故而化隱為顯的轉化策略對學生今后的學習也起著非常重要的作用。

二、 在運用中形成轉化策略

（一）遵循等量變化的轉化原則

轉化策略的運用十分廣泛，無論是計算、圖形還是解決問題中都會運用到。在轉化的過程要引導學生認識到在具體轉化的過程中，只有等量的轉化，才能達到化繁為簡、化難為易的目的。

【習題5】2. 用分數表示各圖中的涂色部分。

【說明】此題是教材練習十六的第2題，題中的涂色部分通過適當的分割，用平移或旋轉的方式進行轉化，就可以看出涂色部分與圖形整體之間的關系，進而用分數來表示。此題轉化的關鍵就是圖形的某些部分在進行平移和旋轉前后，大小不能發生變化，進行等量的轉化。第三幅圖，學生比較容易將整個涂色部分的正方形進行旋轉，從而得到916，就是沒有進行等量間的轉化造成的錯誤。

【習題6】有三堆圍棋子，每堆24枚。第一堆里的黑子數與第二堆里的白子數一樣多，第三堆的一半都是白子。這三堆圍棋子中白子共有多少枚？

【說明】分析題意，不難發現，因為“第一堆棋子里的黑子數與第二堆棋子里的白子數一樣多”，所以第一、第二堆的白子合起來就是24枚，而第三堆白子為24÷2=12（枚），所以三堆一共有24+12=36（枚）白棋子。也可以結合畫圖（如下圖）進行分析，要解決這個問題也是在等量變化的基礎上，將第一堆的黑子轉化為第二堆的白子，故而，等量變化是轉化的必須遵守的原則。

一：

二：

三：

（二）巧用分解和組合

在解決問題的過程中，常常需要將復雜的問題分解為若干個簡單的小問題逐一突破，有時也需要尋找問題間的聯系，將問題重組。根據具體的問題靈活的使用分解和組合，也是進行轉化的常用方法。

【習題7】

12. 光明小學有一個花壇（如下圖）。圖中正方形的邊長為10米，正方形的頂點正好是四個圓的圓心，圓的半徑是3米。

【說明】解決這個問題，先要根據要求將圖形進行分解，花壇的面積是中間正方形面積和4個34圓面積的和。將四角4個的34圓進行組合，轉化為3個整圓的面積，再與正方形面積相加，求出花壇的面積。解決問題的過程中有分到合，充分體現了學生靈活使用轉化策略的能力。

（三）善用題組對比

【習題8】明明、東東和為學校同一塊長方形草坪設計了不同的行走方案。其中灰色直條都是寬為1米的小路，你能比較一下三個設計方案中草地的面積相等嗎？

【說明】通過觀察發現將明明設計方案中的小路向左、向下平移就可以轉化成東東的設計方案，所以明明和東東設計方案中小路的面積是相等的，草地的面積也是相等的。但是丁丁設計方案中有一條小路的形狀是平行四邊形，所以丁丁設計方案的小路面積和其他兩人不等，草地的面積也就不相等了。通過這樣的題組練習，學生對于轉化過程中的等量變化理解的就更深刻了。

作者簡介：章春瑋，江蘇省蘇州市，蘇州市滄浪實驗小學校。