基于APOS理論視域下初中數(shù)學(xué)概念課的有效教學(xué)

王衛(wèi)東

[摘? 要] 文章以建構(gòu)主義APOS數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論為依據(jù)，以“合并同類項(xiàng)”數(shù)學(xué)概念課教學(xué)為例，深入探究了促進(jìn)學(xué)生概念深層次理解的策略，提出了“創(chuàng)設(shè)思維刺激模式，引入概念”“生活化類比歸納，認(rèn)識概念”“辨析關(guān)鍵屬性，建構(gòu)概念”“深化關(guān)鍵屬性，應(yīng)用并形成新概念”“遷移概念圖式，整合概念”等策略，以引領(lǐng)學(xué)生全方位感知概念、活用概念，不斷同化概念，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;初中數(shù)學(xué);概念

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生理解數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、法則，進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷、推理、歸納等活動的基礎(chǔ)和前提，而初中學(xué)生思維主要以感性思維、形象思維為主，加之?dāng)?shù)學(xué)概念本身具有的抽象性，致使部分學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解含糊不清，難以自我建構(gòu)其數(shù)學(xué)意義. 在探索解題方式時往往也不能從基本概念入手進(jìn)行分析，從而影響了學(xué)生對概念知識的整體學(xué)習(xí)效果. 因此，筆者以建構(gòu)主義APOS數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論為依據(jù)，深入探究促進(jìn)學(xué)生概念深層次理解的策略，以引導(dǎo)學(xué)生全方位感知概念、活用概念，不斷同化概念，有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

基于APOS理論視域下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

根據(jù)APOS理論，如果讓學(xué)生經(jīng)過操作、過程、對象等思維階段，一般情況下學(xué)生就能厘清問題情境，就能在反思、建構(gòu)的基礎(chǔ)上形成圖示，而初中階段各種概念的獲得都是從相應(yīng)的感知入手的，都需要學(xué)生經(jīng)過大量的實(shí)例，并通過總結(jié)、歸納、證明等過程形成概念. 而基于APOS理論視域下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，實(shí)質(zhì)上，APOS理論為初中數(shù)學(xué)概念提供了理論視角，其最大的特征就是階段性，結(jié)合APOS理論并研讀新課標(biāo)，初中數(shù)學(xué)概念新授課教學(xué)可分為概念引入、認(rèn)識、建構(gòu)、應(yīng)用、小結(jié)等主要階段[1].

APOS理論視域下“合并同類項(xiàng)”概念教學(xué)策略

1. 創(chuàng)設(shè)思維刺激模式，引入概念

引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂教學(xué)是揭示概念形成過程、深刻理解概念的基礎(chǔ)，鑒于初中學(xué)生感性思維占主導(dǎo)地位，因此，教師應(yīng)合理安排課堂情境，采用生活實(shí)例、聯(lián)系類比、數(shù)學(xué)活動、情境問題等多種引入方式，并呈現(xiàn)豐富的、通俗化的概念背景材料，介紹數(shù)學(xué)概念的起源，幫助學(xué)生由感性認(rèn)識逐漸向理性認(rèn)識過渡.

例如，引入“合并同類項(xiàng)”概念時，為了刺激學(xué)生從“潛在”認(rèn)識向“直觀”思維感受轉(zhuǎn)變[2]，筆者加入了必要的生活元素，創(chuàng)設(shè)了如下的思維刺激模式：如圖1所示，試求該新校區(qū)總面積是多少.

實(shí)質(zhì)上，學(xué)生充分思考后，從不同層面上提出了對該問題的解決方案：一是從圖形的格局上分析，計(jì)算得出新校區(qū)的總面積為（100+200）a+（240+60）b;二是從個體上分析，計(jì)算得出新校區(qū)的總面積為100a+200a+240b+60b;三是從整體上分析，計(jì)算得出新校區(qū)的總面積為（100+200）（a+b）. 然后，筆者要求學(xué)生思考這些代數(shù)式之前有什么聯(lián)系和區(qū)別，并從面積相等的視角引導(dǎo)學(xué)生得出如下等式，即（100+200）a+（240+60）b=100a+200a+240b+60b=（100+200）（a+b），進(jìn)而幫助學(xué)生引入本節(jié)課的主題，感受100a+200a對應(yīng)（100+200）a等“分類”“合并”的思維模式.

2. 生活化類比歸納，認(rèn)識概念

結(jié)合數(shù)學(xué)思維對概念有初步的認(rèn)識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足教學(xué)目標(biāo)的，在學(xué)生充分感受、體驗(yàn)概念的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入解讀概念的內(nèi)涵和外延，鼓勵學(xué)生反思上述操作對象特征，并通過比較、歸納、總結(jié)等方式整合上述思維操作，最終形成獨(dú)立完整的概念. 在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)通過“是什么”“為什么”“怎么做”等提問形式，類比分化刺激模式的特征，將生活化問題類比分化到具體數(shù)學(xué)問題上來.

例如，在組織學(xué)生學(xué)習(xí)“合并同類項(xiàng)”概念時，為了體會分類的簡化問題功能，筆者通過“圖書超市里面的書籍是如何分類的”“藥店里面的藥品是如何分類的”“教師是如何區(qū)別不同年級的學(xué)生”等具體生活問題，要求學(xué)生反思日常生活中為什么要進(jìn)行分類，怎樣才能做到科學(xué)分類，如果將圖書超市里面放置的書籍抽象成為以下單項(xiàng)式，是否還可以進(jìn)行分類：-2019，240b，7x2，0.5x2y，-9mn，2020，2ab，17mn3. 然后引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，組織學(xué)生思考、歸納上述刺激模式的共同特征，鼓勵學(xué)生大膽猜想，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表示上述分類標(biāo)準(zhǔn). 例如，綜合學(xué)生猜想，上述分類可以從系數(shù)、字母、字母次數(shù)等方面進(jìn)行分類. 最后，總結(jié)得出概念中的關(guān)鍵屬性，歸納出同類項(xiàng)的概念. 值得一提的是，對于一些未發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)赝ㄟ^提示的方式組織學(xué)生探索，并為了有效驗(yàn)證學(xué)生是否真正理解同類項(xiàng)的概念可以設(shè)置一些例題. 例如，筆者根據(jù)學(xué)生實(shí)際，讓學(xué)生利用所學(xué)知識判斷-8，0，4是否是同類項(xiàng)，并說明判斷的理由.

3. 辨析關(guān)鍵屬性，建構(gòu)概念

為了明晰概念，進(jìn)一步在理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)概念，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷反思上述概念精細(xì)化的特征，并對設(shè)計(jì)到的關(guān)鍵詞句，或者是圖形符號等進(jìn)行檢驗(yàn)、辨析概念. 例如，在辨析同類項(xiàng)關(guān)鍵屬性時，筆者設(shè)計(jì)了如下題目，要求學(xué)生辨析以下單項(xiàng)式哪些是同類項(xiàng)：①x，y;②a2b，ab2;③-3pq，3pq;④abc，ac;⑤a2，a3;⑥3x3y2，-y2x3;⑦23，32.

值得一提的是，當(dāng)學(xué)生在辨析同類項(xiàng)概念出現(xiàn)偏差時，教師應(yīng)通過正面和反面例子加強(qiáng)師生互動，幫助學(xué)生厘清在判斷同類項(xiàng)時，同類項(xiàng)與單項(xiàng)式的字母順序、字母系數(shù)無關(guān)，從而將同類項(xiàng)從過程階段轉(zhuǎn)化為后續(xù)的對象階段.

4. 深化關(guān)鍵屬性，應(yīng)用并形成新概念

為了進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)概念，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生將上述思維過程視作為一個整體，將所獲得概念的特征應(yīng)用于各種特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算之中，并設(shè)置相關(guān)變式題目使學(xué)生能夠從真正意義上理解概念的內(nèi)涵和外延. 例如，筆者以課前所描述的100a+200a+240b+60b=（100+200）a+（240+60）b為例，通過如圖2所示的圖示引導(dǎo)學(xué)生理解合并同類項(xiàng)就是將兩個以上的同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，從而引出“合并同類項(xiàng)”這一新概念.

同時，為了認(rèn)識合并同類項(xiàng)這個新概念，教師還應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些新問題進(jìn)一步組織學(xué)生思考合并同類項(xiàng)這個新概念. 例如，筆者要求學(xué)生進(jìn)一步說明合并同類項(xiàng)的依據(jù)是什么，在具體合并過程中應(yīng)注意哪些注意事項(xiàng)，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“一變二不變”的合并同類項(xiàng)法則. 最后，創(chuàng)設(shè)了如下問題要求學(xué)生獨(dú)自解決. 在此期間，筆者及時對有困難的學(xué)生給予個別化指導(dǎo).

（1）請合并以下同類項(xiàng)：①-9x2y3+5x2y3;②5ab2+ab2-17ab2;③-7n3m5-23n3m5.

（2）判斷以下合并同類項(xiàng)是否正確，并說明理由：①3a+2b=5ab;②5y2-2y2=3;③4x3y2-2x2y=2xy.

5. 遷移概念圖式，整合概念

為了進(jìn)一步深度應(yīng)用所學(xué)概念，幫助學(xué)生更高層次的加工、整合、提煉、建立思維圖式，達(dá)到舉一反三的目的，教師應(yīng)將鼓勵學(xué)生帶著問題思考，有效地將已有知識與問題解決時思維突破過程進(jìn)行關(guān)聯(lián)和銜接. 同時，要求學(xué)生以本節(jié)課程的收獲為主題，要求學(xué)生繪制概念學(xué)習(xí)過程圖，激勵學(xué)生發(fā)散創(chuàng)造性思維.

如在小結(jié)“合并同類項(xiàng)”概念時，筆者要求學(xué)生將有關(guān)加法的運(yùn)算律、合并同類項(xiàng)本身視作為認(rèn)知整體，歸納概括提出合并同類項(xiàng)的策略及注意事項(xiàng)，并以本節(jié)課程的收獲為主題，引導(dǎo)學(xué)生最終繪制如圖3所示的合并同類項(xiàng)概念學(xué)習(xí)過程圖.

總之，初中階段各種概念的獲得都是從相應(yīng)的感知入手的，都需要學(xué)生經(jīng)過大量的實(shí)例，并通過總結(jié)、歸納、證明等過程形成概念. 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)拋棄死板灌輸概念的理念，從教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，有效為學(xué)生的概念學(xué)習(xí)搭建平臺，引領(lǐng)學(xué)生全方位感知概念，活用概念，不斷同化概念，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

[1]丁曉軍. 關(guān)注學(xué)生認(rèn)知過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念建構(gòu)——基于APOS學(xué)習(xí)理論的教學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（05）.

[2]卜以樓. 意識喚醒：揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效策略——以蘇科版課標(biāo)教材“合并同類項(xiàng)”教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（06）.