圓錐曲線存在性問(wèn)題探究與思考

王偉

[摘 ?要] 圓錐曲線是一類開(kāi)放性問(wèn)題，問(wèn)題的突破要求學(xué)生能夠針對(duì)問(wèn)題條件，結(jié)合已有知識(shí)和策略方法對(duì)其深入探究，需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本和相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想. 文章剖析圓錐曲線問(wèn)題的背景，探究?jī)傻来硇詥?wèn)題的突破過(guò)程，總結(jié)相應(yīng)的解題策略，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;存在性;數(shù)值;幾何;面積;平行四邊形

問(wèn)題背景

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，高考特別注重對(duì)該內(nèi)容的考查. 存在性問(wèn)題是其中較為特殊的一類問(wèn)題，包括與代數(shù)數(shù)值相關(guān)的存在性問(wèn)題和幾何元素相關(guān)的存在性問(wèn)題. 該類問(wèn)題一般綜合性較強(qiáng)，除了可以考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、位置關(guān)系外，還常常與向量、方程、不等式等內(nèi)容聯(lián)合考查，因此探索性強(qiáng)，具有極高的難度，需要學(xué)生采用一定的解題策略來(lái)加以突破，下面對(duì)其進(jìn)行深入探究.

實(shí)例探究

圓錐曲線存在性問(wèn)題常作為高考?jí)狠S題出現(xiàn)，數(shù)值類存在性問(wèn)題有定值、最值等多種問(wèn)題形式，而幾何元素類存在性問(wèn)題有定點(diǎn)、定直線、定形狀等多種形式，下面結(jié)合實(shí)例加以探析.

評(píng)析：上述第（2）問(wèn)探究四邊形OAPB為平行四邊形的情形，屬于圓錐曲線幾何形狀存在類問(wèn)題. 求解時(shí)提煉出平行四邊形的特性，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)條件，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，同樣結(jié)合韋達(dá)定理，通過(guò)設(shè)而不求的方式獲得了為平行四邊形時(shí)的條件，從而完成了問(wèn)題的高效作答.

策略提煉

圓錐曲線存在性問(wèn)題是一類較為典型的問(wèn)題，具有較強(qiáng)的探究性. 從上述兩道題的突破過(guò)程來(lái)看，該類問(wèn)題的求解具有一定的規(guī)律性，可以采用一定的策略，按照一定的流程進(jìn)行，總結(jié)如下.

求解存在性問(wèn)題一般采用“肯定順推法”，即將不確定的問(wèn)題假設(shè)為存在，設(shè)出關(guān)鍵的元素條件（點(diǎn)坐標(biāo)、線斜率、曲線參數(shù)等），聯(lián)立相關(guān)曲線的方程，結(jié)合問(wèn)題條件構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)模型，通過(guò)設(shè)而不求的方式來(lái)完成求證.

另外，從上述兩道存在性問(wèn)題的突破過(guò)程來(lái)看，可以將步驟細(xì)化為如下四步.

第一步：設(shè)出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，如（x1，y1）和（x2，y2）;

第二步：聯(lián)立直線與曲線的方程，通過(guò)消x或消y的方程，獲得相應(yīng)的一元方程，再由韋達(dá)定理來(lái)表示相關(guān)參數(shù)關(guān)系式;

第三步：根據(jù)假設(shè)的存在性問(wèn)題提煉相應(yīng)的條件，結(jié)合第二步獲得的參數(shù)關(guān)系式來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)模型;

第四步：深入分析代數(shù)模型，推理結(jié)果，確定問(wèn)題情形是否存在.

其中第三步提煉存在性問(wèn)題的成立條件是問(wèn)題突破的核心，也是后續(xù)構(gòu)建分析模型的基礎(chǔ).在提煉條件時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是確保提煉條件的全面性，必要時(shí)對(duì)其進(jìn)行分類討論;二是確保所提煉條件的準(zhǔn)確性，不能將性質(zhì)條件與判定條件相混淆. 這就需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)深入挖掘圓錐曲線的關(guān)系特性，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系.

探究思考

圓錐曲線存在性問(wèn)題屬于探究性問(wèn)題，從上述兩道存在性問(wèn)題突破過(guò)程來(lái)看，其解題過(guò)程和方法策略具有一定的代表性，有一定的參考價(jià)值，下面提出一定的教學(xué)建議.

1. 透視信息表象，挖掘問(wèn)題本質(zhì)

探究存在性問(wèn)題的首要條件是精準(zhǔn)審題，包括提取關(guān)鍵信息，讀懂題意，能夠從題干信息中獲得直切問(wèn)題本質(zhì)的內(nèi)容. 例如上述問(wèn)題中直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)際上就是要求所聯(lián)立的方程判別式Δ>0;給出兩直線的乘積的值，實(shí)際上就是要求學(xué)生能夠根據(jù)直線方程來(lái)建立代數(shù)模型. 基于上述要求，教師在教學(xué)時(shí)就應(yīng)注重圓錐曲線問(wèn)題的審題環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐字審題，讀懂題意，能夠發(fā)現(xiàn)題干信息中的關(guān)鍵詞，包括“有且”“僅有”“各異”等. 同時(shí)建立核心詞眼與圓錐曲線性質(zhì)特征之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)條件的具體化和代數(shù)化.

2. 回顧反思總結(jié)，形成解題策略

解題的意義在于“解一題，通類題”，即通過(guò)典型問(wèn)題的探究突破，從中歸納總結(jié)出類型問(wèn)題的解決思路和方法策略. 例如上述兩道典型存在性問(wèn)題在突破時(shí)均是采用肯定順推的方式，假設(shè)情形存在，設(shè)出關(guān)鍵參數(shù)，轉(zhuǎn)化存在性條件，聯(lián)立方程構(gòu)建模型，通過(guò)設(shè)而不求細(xì)化證明. 因此在實(shí)際教學(xué)中教師不能僅開(kāi)展考題的過(guò)程探究，而應(yīng)將其上升到解題策略的歸納總結(jié)層面，引導(dǎo)學(xué)生回顧解題環(huán)節(jié)，貫通整個(gè)解題思路，深入了解問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)，思考探究過(guò)程的關(guān)鍵步驟. 同時(shí)類比同類型題目，思考問(wèn)題的異同，在解法上有哪些相似之處，以及該類問(wèn)題在突破時(shí)涉及哪些思想方法，幫助學(xué)生逐步形成該類問(wèn)題的解題策略.