體現數學化理念的高中數學學案設計

袁華風

[摘 ?要] 統籌、思考“數學化”和“提出問題”這兩個問題的學案設計能引領學生進行有效的“課堂對話”，幫助教師構建體現“數學化”思想的教學模式，真正實現“數學化”的教學并取得余音繞梁的效果.

[關鍵詞] 數學化;學案;學習引導;思考引導;總結引導;拓展引導;教學目的

“數學化”在數學課程改革不斷推進的今天已經成為大家關注的熱點，如何用數學“教化”人這一問題卻仍舊沒有得到完美的解決. 與此同時，培養“提出問題”的能力這一問題也令人們的眼光聚焦在了一起. 事實上，“數學化”和“提出問題”這兩個問題的思考和解決在學案的設計中就應該進行統籌和思考，將“問題的提出與解決”設定為教學的目的并依托“學案”，使學生能夠在課堂教學中進行有效的“課堂對話”并順利構建起體現“數學化”思想的教學模式.

妥善處理好學案和教案之間、學案和教學之間的關系才能將學生的思維引入深處，使學生在學案的習得中體驗“是什么”“為什么”并因此將預習所得“數學化”，這是檢驗學案成功與否的重要指標.

如何設計學案

設計學案需要考慮能否引導學生加深理解并發現知識間聯系、能否激發學生尋得解題新思路、能否幫助學生運用發展的觀點看待問題等諸多方面的因素.

1. 確定設計思路

引發學生思考并使其提出問題是設計學案的主要目的，通過學案設計問題并使學生根據問題引領進行材料的收集以及內涵的了解，才能使學生學到知識的精髓并促使自身知識發生質的改變.

（1）設計起始問題并以此為引領

提出問題與解決問題相互依賴且不可分割，教師精心設計的起始問題不僅是影響學案設計成功與否的關鍵，更是激發學生真實感受并引領學生學習與思考的關鍵步驟.

比如，我們在設計“直線的點斜式方程”這一學案時就可以提出如下起始問題：幾何和代數這兩個數學分支相互關聯且密不可分，就好比平面中的點始終會有一對實數跟它一一對應一樣，那么大家一起來思考一下，平面中的直線和代數中的什么內容之間會是一一對應的呢？

這一問題的思考和解決必然需要諸如以下的新問題的提出：以前見過此類問題嗎？以前是否見過跟此問題相關聯的問題呢（直線和一次函數的關系）？會是直線和一次函數一一對應嗎（猜想）？可否證明？一個一次函數能對應一條直線，那么一條直線是否就一定能尋得其對應的函數表達式或方程呢？先設出表達式是否可行？是不是要確定兩個參數呢？這是否意味著應有兩個條件？應該是怎樣的條件？已知兩點坐標可行嗎？已知一點坐標與斜率呢？……

（2）展現概念形成

學案應具備立體感，應能涵蓋知識的發生、發展以及知識間的聯系并能為學生充分感知.

比如，以下在“從位移、速度、力到向量”這一內容上的探索環節設計：

第一步，實驗與提問：假設力的作用點在桌子的中心，現將桌子分別向左、右或下推動，試分析桌子的運動情況;假設作用點不在桌子的中心上（偏左或者偏右），桌子的運動情況又是怎么樣的呢？試分析這兩種情況下桌子運動狀態的異同，并嘗試用數學概念來描述它.

第二步，發現與抽象：大家能結合物理知識找出“位移”“速度”“力”這些量的共同點嗎？向量這一概念的產生又是怎樣的呢？

（3）凸顯數學思想的特點

透過知識本身看到數學本質并形成數學觀、體驗數學思想方法是學習的關鍵步驟. 比如，“方程和直線之間的關系怎樣？”這一問題就可以用在“直線的點斜式方程”這一內容的教學中，以此引導學生運用不同方式對同一對象進行數學刻畫并獲得數形結合意義的理解.

2. 確定學案結構

一份完整的學案一般包含學習引導、思考引導、總結引導、拓展引導這四個部分.

（1）學習引導

對數學知識“真懂”或“徹悟”這一數學理解的高層次是提出問題的基礎，是否能夠有效地喚起學生的認知并使其對知識進行理解、吸收是學案成功的關鍵與起點.

比如，以下在“對數函數”所設計的學案問題：大家能敘述課本中對對數函數的描述嗎？如此描述的優點在哪里？價值如何？筆者以這些問題來引導學生對知識進行吸收與理解，并對學生進行了學法指導，使學生能夠對眼前知識與已有知識之間的區別和聯系進行判定，并選擇恰當的方法進行吸收.

（2）思考引導

學生初步學習知識之后所要進行的就是深入學習，在深刻理解知識的基礎上才能產生質疑并提出問題.

比如，筆者在“空間圖形的基本關系與公理（1）”這一學案中進行的問題設計：點、線、面相互搭配的情況一共有多少種呢？教材中關于“不同在任何一個平面內”的描述的具體含義是什么？從公共點的個數對“直線與平面”“平面與平面”關系的合理性進行說明是否可取？學生吸收知識之后所應進行的學習行為便是考慮知識學習的重要意義，這對提出問題來講是極為關鍵的.

（3）總結引導

這是引導學生進行知識掌握的自我總結并發現知識間聯系、數學特點的一個重要環節. 比如，筆者在“空間圖形的基本關系與公理（1）”這一學案的設計中就引導學生對幾種關系進行了填寫，使學生在“點與直線”“點與平面”“線與線”“線與面”等關系的梳理中獲得了學習的總結與知識的再吸收.

（4）拓展引導

這是引導學生發現問題、提出問題的一個環節，因此這一環節的設計需要根據具體內容進行恰當的處理與設計. 比如，蘊含于問題研究中的諸多思想方法都需要教師引導學生對其重要性進行理解.

比如，筆者在“空間圖形的基本關系與公理（1）”這一學案的拓展引導環節上就設計了以下問題：若直線上有兩點在某一平面內，該直線和平面的關系怎樣？怎樣說明？若兩個平面不重合但卻存在兩個公共點，那么這兩個平面間的關系怎樣？怎樣說明？若兩條直線之間存在一個公共點，那么兩條直線在同一平面內的說法成立嗎？

教師的必須認知

教學模式對于教學結果的影響并不是決定性的，教學思想與觀念對于教學結果的影響才是關鍵且具決定性的. 觀念的先進與否往往決定行為的優劣，而觀念往往又是從理解之中形成的. 教師在本模式的實施過程中必須達成一定的共識：

1. “數學化”的形成是影響教學效率的重要因素

教師首先應對“數學化”和教學效率之間的內在聯系進行研究與理解，并在此基礎上形成一定的認知，明確引導學生理解數學并使其形成數學觀、提升其數學素養才是激發其學習動力的重要因素這一認知，教學效率的提升也只有建立在學生具備內在學習動力與興趣的基礎之上才能實現.

2. 學生數學化的基礎是教師的數學化

教師提出問題的示范性對于學生提出問題來說極其重要，因此，教師首先應對數學進行體會、欣賞和研究并靜心思考一些問題，尤其是那些把握、理解數學知識的問題更值得關注與思考. 學生是否會問、會思的關鍵在于教師是否會問、會思，因此教師對教材進行深入挖掘與理解對于教學成功來說是關鍵中的關鍵.

存在一定差異的思維活動自然也有其明顯的共性，把握、引導學生的思維需要教師對問題進行思考這一必要的環節，這是體驗、把握學生思維所必不可缺的. 波利亞在著名的教師“十戒”中提出的第一點就是要求教師能夠懂得任教內容. “懂得”一詞涵蓋的意義相當廣泛，教師具備的數學知識與知識結構、對教材進行的宏觀與微觀的認知與理解等內容都是涵蓋其中的. 也就是說，教師應該在把握知識走向、聯系的基礎上對某些內容進行鉆研與思考并獲得數學本質的認知與理解，只有這樣，數學的“品味”才會因此獲得提升.

3. 充分認識數學教學的目的

教師始終要明確數學教學的最終目的就是數學化，將“數學化”置于重要地位并對知識教學進行新的理解，使學生通過理解知識獲得疑問并將課堂教學延續至課外，這正是數學教學應該達到的最終目的. 只有這樣，數學教學才能真正實現“數學化”，并取得余音繞梁的效果.