立足“三個關注”，開展定理教學

馬鵬程

[摘 ?要] “過程與方法”是幾何定理教學所倡導的核心內容，即基于教學內容開展知識探究，重視知識學習的過程，發揮數學方法的價值. 因此在教學“直線與平面垂直的判定”內容時需要教師關注學生認知能力，關注探究過程，關注思想方法，以實現過程探究與方法講解的融合.

[關鍵詞] 直線;平面;垂直;引入;過程;思想

“直線與平面垂直的判定”是人教版必修二的重要內容，也是立體幾何學習的核心知識，通過本章節內容的教學需要使學生感知垂直概念，掌握直線與平面垂直的探究方法，并能初步應用定理解決實際問題. 而分析教材內容，發現其中存在幾個教學重點需要關注，下面結合具體內容對其加以分析.

關注學生認知，合理引入課題

該節內容是學生在學習直線、平面平行的基礎上開展的，但總體而言學生對線面垂直關系沒有足夠的認識，這也是后續學習的核心. 因此在教學中教師首先需要關注學生的認知水平，以學生熟悉的內容和豐富的活動作為課堂引入.

學習雖然是一個主動的過程，但這個過程也需要一定的動力激勵，開展課堂教學引入最為有效的方式是創設具有趣味的情境，用學生感興趣的素材來引導學生學習新知[1]. 線面垂直在我們的生活中十分常見，因此可以從學生日常生活所見的圖形中選取素材. 例如，給出圖1所示的情境圖片，讓學生觀察圖片，分析旗桿和地面、大橋的橋柱與水面之間是什么樣的位置關系. 而在引導過程中可以采用幾何類比的方式，以第一幅圖為例，讓學生思考旗桿可以用幾何上的什么來代替，而地面可以視為幾何中的什么元素，幫助學生建立生活實例與幾何圖形之間的聯系，充分感知直線與平面相互垂直的關系，實現抽象數學與直觀生活的關聯建立，為后續學習做基礎.

利用上述圖形觀察活動建立線面垂直關系的初步印象后，教學中還需要引導學生自己舉例來強化認知. 比如可以讓學生思考教室中的哪些物品之間存在如圖2所示的線面垂直關系，或者讓學生嘗試利用課本和書桌來搭建這種關系. 需要注意的是，教學時需注重學生的動手操作，自我辨析，逐步提升學生探索發現的能力.

上述是通過圖形關系識別和幾何關系搭建活動來進行本節內容的課堂引入，符合“數學源于生活”的數學主題. 隨著科學的發展，需要人類更多地利用幾何圖形和幾何方法來研究生活，因此用生活實例來開展課堂引入可以讓學生深刻體會數學與生活的緊密聯系，提升學生幾何學習的積極性.

關注探究過程，重視定理生成

分析“直線與平面垂直的判定”的教材內容，可以發現教材中隱去了命題的發現過程、證明思路的探索過程，對于判定定理則是采用了直接證明的方式. 雖然通過熟記強背學生也可以掌握定理，但學生難以真正理解定理的知識本質，不能獲得相應的分析思維，這對于后續的應用解題是十分不利的. 幾何定理的教學是一個思維嚴密的推理過程，因此教學中需要關注探究過程，全方位地呈現定理產生、形成和發展的過程，引導學生進行思維活動[2].

如線面垂直定理的猜想教學時，可以以上述課題引入的旗桿為例，引導學生構建相應的幾何模型，讓學生思考隨著時間的推移直立在地面上的旗桿與影子之間的位置關系. 可以以問題的形式來引導探究，探究旗桿與影子之間的夾角是多少度. 同時可以設計如下具有引導作用的拓展性問題：

問題1：如果學校準備更換新的旗桿，你有哪些檢驗旗桿與地面垂直的辦法？

問題2：說出你所知道的關于線面垂直的判定依據？

問題3：是否可以通過判定直線與平面內有限條直線相互垂直來確定線面垂直？

問題4：如果可以，是否可以僅分析直線與平面內的一條直線相互垂直呢？

問題5：如果不可以，那么平面內的兩條直線呢，這兩條直線需要具備哪些性質呢？

幾何模型是支撐學生思維推理的基礎，因此在教學中可以給出如圖3所示的模型，其中AB表示旗桿，BC表示某一時刻旗桿的影子. 在探究過程中，首先引導學生猜想出需要確定直線與平面內的兩條直線分別垂直才可確定線面垂直，然后引導學生思考若平面內的兩條直線為平行關系是否可以確定線面垂直，從而利用思辨思維來獲得準確的幾何定義.

而在線面垂直定理的論證階段，則可以引入折紙實驗，通過直觀的圖形來完成定理證明，給出圖4所示的幾何△ABC. 首先讓學生沿著過頂點的任意直線進行翻折，設折痕為線段AD，然后將翻折后的紙片豎立在桌面上，使線段BD，DC同時與桌面相接觸，讓學生思考如下的問題.

問題6：觀察圖形，折痕AD是否與桌面垂直，如果不垂直，那么需要怎樣翻折才能確保折痕與桌面垂直呢？你可以得出哪些結論？

在教學中教師可以首先進行動畫演示，完成平面向立體的切換，逐步引導學生向線面垂直條件的方向思考，“問題鏈”需要根據課堂實際靈活設計. 首先引發學生的認知沖突，然后由“一般條件”向“特殊有限條件”轉化，從而論證線面垂直的定理. 另外也可以進行反向設計，首先給出如圖5所示的幾何圖形，其中AD⊥BC，沿著AD翻折將圖形豎立在桌面上（如圖6所示），然后讓學生思考直線AD與線段BD，CD之間的位置關系，再思考直線AD與平面α之間的位置關系，最后分析兩種關系之間存在怎樣的聯系. 活動設計提升了學生的參與度，幫助學生完成了由“幾何猜想”到“幾何論證”的過渡，實現了感性認識到理性認知的升華.

關注思想方法，進行思想滲透

數學的思想方法是整個數學教學的核心，也是學生核心素養提升的重要內容，因此幾何定理教學另一個需要關注的內容是思想方法[3]. 相對于固體的知識而言，思想方法較為抽象，無法通過直觀的知識教學來掌握. 實際上，思想方法是問題處理的基本策略和指導思想，隱含在數學的知識內容中，因此進行思想方法的教學可以借助具體的教學內容，采用思想滲透的方式，讓學生在學習過程中逐步感悟，逐步開化.

以線面垂直階段的課堂引入為例，教學中給出對應的圖片后，需要從中衍生出對應的幾何模型，而幾何模型的構建過程實際上就是模型思想的應用指導. 在這個過程中需要教師詳細指導模型構建的過程，即以旗桿所在直線畫線段AB，以地面所在平面繪制幾何平面α，其中直線AB與平面α的接觸點為點B. 上述模型構建的過程既還原了旗桿和地面兩者的基本特征，又隱含著兩者之間的位置關系.

而在定理論證的第一階段，則可以滲透數學的類比思想，引導學生類比直線與平面平行的判定定理，思考直線與平面垂直時需要滿足的條件，從而將直線與平面之間的位置關系的探究轉化為直線之間的位置關系的探究. 而在思辨階段，則同樣可以類比直線與平面平行，分析是否可以通過證明直線分別與平面內的兩條平行線相互垂直來完成直線與平面垂直關系的確定. 需要指出的是由“線面關系”向“線線關系”的轉化過程隱含著數學的轉化思想和降維思想，教師在講解時不需要特意指出，只需引導學生思考這樣處理的思維優勢即可.

數學定理探究的最后階段，需要引導學生從一般的空間問題中獲得具有總結性的結論，這個過程必然隱含著數學的化歸思想. 實際教學中需要教師引導學生構建數學語言與文字語言之間的聯系，全方位地完成數學定理的提煉、總結、歸納，如對于 “BD？奐α，CD？奐α，BD∩CD=D”，在化歸時需要描述為平面內的兩條相交直線.

數學的思想方法是學生終生受用的知識技能，直接決定學生的思維能力，因此開展課堂教學不可忽視對數學思想的指導. 另外課堂教學采用探究式的教學方式，不僅可以使學生體驗數學的探究過程，而且在這個過程中學生還可以逐步掌握猜想、分析、歸納、特殊到一般、推理驗證等探究手段，這些技能方法可以在潛移默化中提升學生的數學思想.

總之，高中階段的課堂教學需要教師準確把握教材的核心內容，以學生的知識基礎作為課堂教學的起點，緊密聯系實際開展新知探究;對于論證過程中重要的幾何定理內容，需要采用課堂引導探究的教學方式，使學生掌握定理的同時獲得思維的提升;以教學內容為載體滲透數學的思想方法，逐步提升學生的核心素養，為學生的長遠發展做好基礎.

參考文獻：

[1] ?杜慧. 立足核心素養 ?構建高效課堂——以“直線與平面垂直的性質”為例[J]. 中學數學，2018（05）：3-7.

[2] ?潘小梅. 遵循定理教學規律 ?追求凸顯思維的教學[J]. 中學數學教學參考，2017（11）：18-19.

[3] ?胡吉蔚.為直觀插上想象的翅膀，為邏輯鑲上思辨的光芒——直線與平面垂直的定義及其判定的教學設計分析[J].數學教學通訊，2017（36）：16-18+40.