重視轉化 化曲為直
——《圓的面積》教學設計與反思

楊 龍 朱 蕾

【教學內容】

人教版六年級。

【教學過程】

一、談話引入，引出問題

師：同學們，你們聽過嫦娥奔月的故事嗎？人類對月球的探索從來沒有停過，2018年嫦娥四號衛星成功登陸月球的背面，進行科學探索。這顆具有重要意義的衛星就是在老師的故鄉——美麗的西昌發射升空的。西昌是一個山清水秀、人杰地靈、民風淳樸的地方，這里的彝族人民勤勞勇敢、熱情善良，每年的農歷六月二十四日，是一個重要的節日——火把節。

（課件出示火把節圍成圓形的火堆跳達體舞的圖片）

師：在這火熱的節日里，你看到了哪些與數學有關的信息？

預設：火堆是圓形的、人們跳舞圍成的圈是圓形的……

師：同學們真細心，那你想提出什么問題呢？

預設：跳舞的有多少人？跳舞的圈有多大？圍著火堆走一圈是多遠？火堆的面積有多大？……

師：“圍著火堆走一圈是多遠？”這個問題實際就是求圓的什么呢？（周長）今天我們重點研究跳舞的圈有多大和火堆的面積有多大這兩個問題。同學們想一想，這兩個問題實際上就是求圓的什么呢？（板書：圓的面積）

【設計意圖：讀萬卷書，行萬里路。數學也要滲透愛國主義教育，數學也要讓學生認識不一樣的地方，欣賞不一樣的美。彝族火把節節日盛況的圖片給學生帶來美的享受，并從中找到與本課相關的數學信息，有效地激發了學生學習的興趣和求知欲，使學習成為學生自覺的需求。】

二、鞏固舊知，做好鋪墊

（課件出示學過的平面圖形：平行四邊形、三角形、梯形）

師：請回憶一下我們是怎么推導出它們的面積計算公式的。

小結：把未知的東西想辦法轉化成我們學過的知識來研究是一個非常重要的數學方法。（板書：“轉化”）

【設計意圖：回顧以前平面圖形的面積推導方法，幫助學生喚起舊知，為新知的探究打下良好的基礎，便于學生在學習新知識的時候進行遷移類推。】

三、大膽估計，大膽猜想

師：（課件出示以圓的一條半徑為邊長的小正方形）這個正方形的面積是多少？（r2）

再出示一個小正方形。讓學生觀察，圓的面積和兩個小正方形的面積比較，哪個大？

出示四個小正方形。讓學生觀察，圓的面積和四個小正方形的面積比較，哪個大？

得出：2r2＜圓的面積＜4r2。

師：請同學們大膽猜一猜，圓的面積大概是r2的多少倍？

【設計意圖：用圓的外切正方形的四分之一來與圓進行面積比較，大膽進行猜想，可以初步確定圓面積的取值范圍，對于學生思維的發展和后續的學習有積極的作用。】

四、方法遷移，推導公式

1.提出探究問題。

師：光是猜想還遠遠不夠，要準確知道圓的面積是r2的多少倍，那就需要進一步的研究。我們五年級在推導平行四邊形的面積時，是把它轉化成長方形的，今天我們能不能用“轉化”的思路研究圓的面積呢？

2.小組合作，探究面積計算公式。

合作要求：

（1）想辦法將圓轉化成我們學過的圖形。

（2）說一說轉化后的圖形和圓之間的關系。

（3）推導出圓面積的計算公式。

學生分組合作探究，利用手中的學具想辦法將圓轉化成學過的圖形。教師巡視指導。

3.全班交流。

（學生邊展示，邊標出轉化的過程，并推導出面積公式）

小組1：我們是把圓平均分成16 個小扇形，拼成了一個近似的平行四邊形。平行四邊形的底相當于圓周長的一半（），高相當于圓的半徑r，平行四邊形的面積=底×高，所以圓的面積=×r=πr2。

小組2：我們是把圓轉化成了一個近似的三角形。三角形的底相當于圓周長的四分之一（），高相當于4r，三角形的面積=底×高，所以圓的面積=

小組3：我們是把圓轉化成了一個近似的梯形。梯形的上底相當于圓周長的十六分之三（），下底相當于圓周長的十六分之五（），高相當于2r，梯形的面積=（上底+下底）×高，所以圓的面積=

4.小結方法，感受極限思想。

師：同學們真能干，把圓轉化成了我們學過的這些圖形，在轉化的過程中，什么變了？什么沒變？（形狀變了，面積沒變）

師：老師聽到小組匯報的時候，都用了一個詞“近似”，你們為什么要加上這個詞呢？

（課件出示8 等分、16 等分、32 等分、64 等分……后拼成的平行四邊形。讓學生體驗等分的份數越多，拼出的邊看起來就越平，就越接近平行四邊形）

師：當這樣無限等分下去，圓就會被分成無數條半徑，拼出的就是平行四邊形了。拼三角形和梯形也是同樣的道理。

【設計意圖：圓的面積推導和其他平面圖形不一樣，需要“化曲為直”，用到極限的思想，無限的等分下去，圓就會被分成無數條線段，滲透了以直代曲的辯證唯物主義觀點。符合幾何學里面點構成線、線構成面、面構成體的思想。學生通過小組合作，同伴間的思維得到碰撞，多樣化的轉化方法，拓寬了視野，開闊了思路，對于學生創新能力和創新意識的培養有很大幫助。】

五、梳理回顧，小結全課（略）

【教學反思】

一、突破難點促發展

圓的面積公式推導，是小學階段平面圖形最大的一個難點，因為之前學習的平面圖形邊都是直邊的，而圓的邊是曲線。研究圓的周長時，用繞線法、滾動法就已經初步滲透了化曲為直的思想，這是研究曲線圖形的基本方法。本節課圓的面積更滲透了曲線圖形與直線圖形的關系，還滲透了極限思想。這樣不僅擴展了學生的知識面，而且從空間觀念來說，進入了一個新的領域。通過圓面積的公式推導，不僅加深了學生對周圍事物的理解，激發興趣，也為以后學習圓柱打下了基礎。

二、滲透轉化解新知

提出問題之后，學生就自然會想到如何計算圓的面積？公式是什么？這些都是擺在學生面前的一系列現實的問題。不管怎樣都要鼓勵學生大膽猜測、設想，說出他們的想法。但也許學生不能很好地想到辦法，那么就需要教師引導與以前學過的平面圖形建立聯系，以平行四邊形為例，為學習新知做好準備。這個過程不僅僅是為了回憶，更重要的是滲透一種重要的數學思想，那就是轉化的思想，讓學生知道新的問題可以轉化成舊的知識，利用舊的知識來解決新的問題。

三、小組合作增理解

通過小組合作實驗操作，拼出幾種以前學過的圖形，找到拼出圖形與圓的聯系，經歷公式的推導過程，不但使學生加深對公式的理解，而且還能有效的培養學生的邏輯思維能力和勇于探索的科學精神。大部分學生拼出的是平行四邊形，在聽其他同學拼出三角形和梯形時，有眼前一亮、耳目一新的感覺，學生在求知的過程中體會到不一樣的美，體驗到成功的喜悅。