開放性練習，擦亮學生的眼睛

孫貴合

在上期中，我們談到了應用開放性練習使學生能夠用數學的頭腦去思考，那如何使學生能夠用數學的眼光看世界呢？本期我們圍繞這一主題和大家進行交流。

開放性練習除了能夠打開學生的思維，還有更重要的一點，就是把所學知識在生活中找到原型，也是就能夠納入生活中去，從而使學生體驗：生活——數學——生活。數學的眼光，就是能夠從日常的生活中發現數學的信息；能從基礎紛繁復雜的情境中發現簡單的數學原理；從平凡的事實出發，能夠思考出不平凡的理論……因此在開放性的練習設計過程中，教師可以加入一些生活中的素材，拓展學生視野同時，感受知識的應用價值，讓學生用數學的眼光觀察世界。

●案例：《同分母分數加減法》

對于計算課，大多數內容都是反復的計算，但除了計算之外，我們是否可以讓學生感受一個真正學習的機會呢？人教版這部分內容課后有這樣一道練習題：分母是10 的最簡真分數的和是多少？很多教師處理這道題時，只是讓學生計算，強調是最簡真分數。在學生得到正確結果之后，這道題也就失去了它的意義，但是如果這道題只以計算出正確結果為目的，那就失去了它本身更大的作用。

我在進行這部分教學時，當學生已經計算出本題的正確結果之后，提了一個問題——

師：同學們，分母是10 的最簡真分數的和是整數，你還有什么別的想法嗎？

生1：那分母是100 的最簡真分數的和是不是也是整數？

師：你提出了一個很好的問題，我也不知道答案。還有嗎？

生2：那分母是1000 的最簡真分數的和是不是也是整數？

師：雖然你也提出了一個問題，但和剛才同學所提的問題類似，你是在模仿，因為你們的問題都是100、1000 這樣的數，沒有超越，看誰能提出有超越的問題？

在這里可能有的老師會說，為什么要否定生2 提出的問題。因為在我們的課堂上存在著大量的模仿，學生并沒有自己真正的思考。什么是創造性思維？由1 到100 不是創造，由1 到10000 也不是創造，而由0 到1 的過程才是創造。所以讓學生能夠跳出原有思維的圈子，才是創造性思維的培養。

生3：老師，是不是所有整數以某個整數為分母的最簡真分數的和都是整數？

師：你提出了一個很大的問題，其他同學對他的這個問題，你們有什么想法嗎？

生4：生3 提出的不對，因為整數2，以它為分母的最簡真分數只有，和不是整數。

師：看來有了不成立的例子了，但能不能修改一下這句話讓它成立呢？

生3：所有大于等于3 的整數，以它為分母的最簡真分數的和都是整數。

師：我們一起舉例子來試一試吧。（學生舉例）

第二天，我剛到辦公室門口，就有一群學生追了過來。一起激動地說：“老師，咱們五（二）班猜想真成立。”

師：你們怎么知道成立？

生：我們試了，都成立。

師：好一會上課時我們再問問其他同學的結果。

上課開始，我問全班同學誰昨天證明五（二）班定理了，全班同學都舉手。

師：那你們誰找到不成立的例子嗎？

生：沒有，都成立。

師：那現在我們是不是可以說，我們五（二）班定理成立？

采取SPSS11.0軟件進行分析,計量資料(均數±標準差)表示,t檢驗,計數資料(n,%)表示,x2檢驗,P<0.05差異存在統計學意義。

生：可以。

師：同學們，你們的心情老師可以理解，但我們現在只能稱它為：五（二）班猜想。因為我們是通過舉例的方法，不能夠把所有情況都進行嘗試，要證明它成立，要通過系統嚴謹的證明方法才能夠證明，如果我們班有同學一直從事數學學習，希望有一天你能夠把這個猜想證明出來，然后告訴我們同學。

我們試著去想，如果一名同學一直從事數學的學習，有一天在翻閱《數學史》的過程中看到這樣一段話：早在二百多年前，大數學家歐拉曾經提出過這樣的猜想：所有大于等于3 的整數，以它為分母的最簡真分數的和都是整數。這個猜想通過證明得到了正確結論，也被稱為歐拉定理。我想這個時候這個學生不會埋怨老師當時沒有告訴他這個結論，他會更感謝老師，在他的心里種下了一顆數學的種子，才讓他一直堅持著數學的學習。

對于這道題，我當時還想了另外一種處理方法，就是當啟發學生提出“所有大于等于3 的整數，以它為分母的最簡真分數的和都是整數”之后，告訴學生這個結論就是“歐拉定理”。我想當學生了解后，心情也是非常激動的，但激動過后，又能給他們留下什么呢？因為歐拉已經證明了，所以學生不需要思考了。

●案例：《因數和倍數》

在教學這一部分時，平時我們只是關注學生能否正確找到一個數的因數和倍數，那是否能夠在學習的過程中激發學生學習數學的源動力呢？于是在新課學習之后，我出了這樣一道題目：

師：有9 顆珠子，擺在一個計數器上，能擺出哪些兩位數？

生：18、27、36、45、54、63、72、81、90。

師：認真觀察這些兩位數，你有什么發現？

生：這些兩位數，個位數和十位數相加都等于9。

師：9 顆珠子擺的，相加肯定等于9。

生：這些兩位數都顛倒著，18、81；27、72；36、63；……

師：真的是呀，還有嗎？

生：都是9 的倍數。

師：9 顆珠子，擺出的兩位數都是9 的倍數，那你有什么大膽的猜想嗎？

生1：我猜8 顆珠子擺出的兩位數就是8 的倍數。

師：很好，這就是生1 猜想。其他同學呢？

生2：我猜7 顆珠子擺出的兩位數就是7 的倍數。

師：很好，這就是生2 猜想。還有嗎？

師：現在每位同學都有了自己的猜想，那我們就帶著自己的猜想課下去驗證吧。

讓學生帶著問題走進課堂，同時也讓學生帶著問題走出課堂。學習不僅是課堂上的事，也是生活中的事，我們更要培養學生終身學習的能力，所以要讓學生自己學會學習。同時我這道題的設計是在為學生學習《3 的倍數的特征》打下基礎，因為學生從一年級到五年級，從來沒有做過要把個位數字和十位數字相加的事，所以學習起來有困難，于是我給學生一次體驗的機會，這也就是學習經驗的積累。

另外，這道題還肩負著另一重任：讓學生經歷一次真正的科學猜想、驗證、結論的過程。因為我們現今的很多證明，學生經歷的都是偽證明，由于課堂教學任務的影響，使學生的操作“一實驗就成功”，但在科學發展的過程中，是經歷很多次的失敗最后才取得一次成功。于是在第二節課，我對這個問題進行反饋。

師：你的“生1 猜想”怎么樣？

生：不成功。

師：你的“生2 猜想”呢？

生：也不成功。

師：那是不是所有的猜想都不成功呢？

生：老師，我的猜想成功，我猜想3 顆珠子擺出的兩位數就是3 的倍數，您看：12、21、30，都是3的倍數。

師：看，雖然很多人都沒成功，那是不是就失敗了呢？錯，其實你們已經成功的證明了那些猜想不可以，同時不要因畏懼失敗而不敢大膽猜想，因為只有有了猜想才有成功的可能。

在這樣的過程中，學生經歷了：猜想——驗證——結論的過程，有成功也有失敗，但畢竟這個過程對于學生來講，是非常難得的。所以多給學生留下點空間，讓學生獨立思考。從一個普通的事件出發，能夠發現常人不容易發現的問題，并且通過自己的證明方法，得出了結論，這不正是我們數學的眼光看世界嗎？