圖形分析法在初中幾何解題中的應用

何軍霞

【摘要】本文論述在引導學生解答初中數學幾何題時，教師要對學生的解題過程進行指導，引導學生分析圖形，開展變式訓練，不斷提高學生解決幾何題型的能力.基本圖形分析法重在探索解題思路的形成過程，幫助學生掌握幾何原理，培養學生的思維能力，達到舉一反三、輕負高效的良好效果.

【關鍵詞】幾何題型，圖形分析法，分離圖形，構造圖形，添加輔助線

【基金項目】本文是甘肅省教育科學“十三五”規劃課題《關于解決初中數學中的圖形與幾何問題的策略研究——以人教版八年級教材和學生為例》（課題批準號：GS【2018】GHB1041）的研究成果.

很多初中生認為幾何難學，他們在解答幾何題目時面對各種形狀的圖形、各式各樣的符號和條件，經常會感到一頭霧水，找不到解決問題的突破口，不但影響了考試成績，還打擊了學好數學的積極性和自信心.鑒于這種情況，教師要對學生解答幾何題的過程進行指導，引導學生分析圖形，展開變式訓練，讓學生輕松應對幾何圖形題目.下面結合具體例題來談一談以圖形分析為基礎的幾何解題策略.

一、根據已知條件分離圖形，結合圖形性質解題

解答幾何題目需要具備良好的邏輯推理能力，只有對題目中的已知條件和求證問題進行靈活恰當的轉換，才能快速地解答.角平分線是初中幾何中一個重要的知識點，很多幾何題目都圍繞著這個知識點進行設計，在中考試題中也不乏角平分線的影子.一些學生因為對角平線的性質等內容掌握不夠扎實，導致在遇到這一類幾何題目時無從下手.因此，教師要引導學生分析題目的來龍去脈，通過分離圖形把題目轉化為學生熟悉的基本圖形，再結合圖形的性質進行解答.

例如，教師出示了一道典型的角平線的題目：如圖所示（圖略），在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，求證：AD=AB.學生看到這道題目之后，有的學生發現求證的問題是AD，AB兩邊相等，而且兩條邊同屬于三角形ABD中，因此，可以把求證結論轉化為求證∠ABD=∠ADB.通過這種求證命題的轉化，使看似沒有頭緒的問題變得簡單了.學生根據角平線的定義，推理得到∠ABD=∠DBC，同時根據AD與BC平行的條件，推理得到了∠ADB=∠DBC，由此得到了∠ABD=∠ADB.在三角形ABD中，∠ABD=∠ADB，所以這個三角形是等腰三角形，即AD=AB.在學生完成了解答之后，教師再讓學生回顧解題過程，梳理解題思路：先看題目求證的問題是三角形ABD中的兩條邊相等，這時就可以把這個三角形分離出來了，通過逆向推理，只需要證明三角形的AD，AB兩條邊所對應的角相等，就可以根據等腰三角形的性質輕松解題.最后，教師引導學生總結：由這道題可以發現在解答一些含角平分線的題目時，可以根據已知條件把問題轉化為，分離出一個圖形，再利用這個圖形的基本性質解答問題.

由上例分析可知，這種題目可根據已知和未知對問題進行轉化，分離出簡單的圖形，使求證的問題一目了然.學生在找到解題突破口之后，就自然而然地順利答題了.

二、添加輔助線構造圖形，利用幾何知識解題

添加輔助線也是初中幾何題解答中常用的方法，對很多學生來說，添加輔助線的題目都屬于難度比較大的題目，因為他們并不清楚在哪里添加輔助線是最合適的.因此，教師在指導學生運用添加輔助線的方法解答幾何題目時，不但要讓學生明白輔助線添在哪兒，還要使學生透徹地理解為什么要添在那，讓學生掌握添加輔助線的技巧.通常來說，很多復雜的幾何題目在添加輔助線后，都會變得容易起來，因為通過添加輔助線構造了一個新的圖形，使原來需要求解或證明的問題發生了轉化，讓學生找到了答題的方法.

例如，在學生學習了梯形的相關知識之后，教師出示了一道典型的中考題.如圖所示（圖略），梯形ABCD中，AD∥BC，一條腰AB長為2.5厘米，長底邊BC長為4厘米，連接B，D兩個頂點，作∠BAD的平分線與線段BD相交于點E，連接AE，如果AE∥CD，那么AD長多少？很多學生一看到這道題給出了這么多已知條件就不知所措了.此時，教師要引導學生再次讀題，讓學生發現已知梯形的一腰、一底的長度，求另一底的長度，但學生還是找不到從哪里下手解題.此時，教師引導學生在練習本上準確地把這個圖畫出來，學生畫完圖之后，教師又讓學生把題目中的已知條件標示在圖形中，讓學生嘗試看能不能把問題進行轉移.在教師的點撥下，有些學生已經想到了通過延長∠BAD的平分線AE到BC邊，與BC相交于F點，這時就可以把AD轉化成FC了.此時馬上有學生大膽推測：只要求出BF的長度，問題就迎刃而解了.可是，怎么求BF的長度呢？學生繼續觀察發現在三角形AFB中，∠BAF=∠FAD，∠FAD=∠AFB，所以，∠BAF=∠AFB.根據等腰三角形的性質，推導出AB=BF，則FC=BC-BF，即AD=BC-AB=4-2.5=1.5厘米.

在教師的引導下，學生一邊看圖一邊思考，通過合理地添加輔助線，找到了答題的關鍵點，然后把求解的問題進行轉化.在這個過程中，添加輔助線是最關鍵的一步，借助輔助線構造了新圖形，讓原本需要求解的問題變得清晰明了.

三、借助旋轉方法抽取圖形，借助圖形分析解題

旋轉作為物體位置移動的一種常見方式，對發展學生的空間想象力具有重要的作用.在幾何題中，有些已知條件比較繁雜，要求的問題看上去也與已知條件沒有關系，這時學生往往都會感覺到束手無策.要解決這一類型的幾何題目，需要學生的數學思維具有較強的靈活性，再根據題目的意思，借助自己的空間想象力，運用旋轉的方法，從中抽取圖形，并結合圖形的性質把看似復雜的問題簡單化，提高解題效率.

總的來說，圖形是幾何學習和研究的核心內容，幾何題的解答離不開圖形性質的分析和各種定理的應用.教師在指導學生解答幾何題目時，需要有意識地教會學生思考的方法，引導學生對已知條件進行分析，抓住要點，抽絲剝繭，把復雜的問題簡單化，把未知的內容已知化，學會舉一反三，做到觸類旁通，不斷訓練學生的邏輯推理能力，提升學生的數學思維品質.

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