淺談波利亞四步解題法在數學解題中的應用

周晨晨

【摘要】杰出的數學家、數學教育家波利亞指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題的訓練.”而他的解題思想集中體現在“四步解題法”中，即：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧.本文以該解題思想為理論，以高考圓錐曲線為載體淺談了四步解題法的四個步驟在數學解題中的應用.

【關鍵詞】波利亞四步解題法，高考圓錐曲線，解題思維

一、波利亞四步解題法

波利亞將解題過程分為四個步驟：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧[1]，每一步又都以問題的形式呈現.

第一步理解題目.這一步決定要努力的方向.未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？當我們拿到一道題目的時候我們把讀題分為兩個階段，第一階段熟悉題目，看一下題目的類型，熟悉題目的已知量和未知量，第二階段深入理解題目，深挖已知量背后隱含的條件，理解未知量，知道已知量和未知量之間的關系，知道自己努力的方向，適當的時候可以畫圖引入適當的符號.這一步是成功解決題目的前提.波利亞說：“對你所不理解的問題做出答復是愚蠢的，為你所不希望的目標工作是悲哀的.”

第二步擬訂方案.這一步決定解決問題的成與敗.你以前見過它嗎？你知道一道與它有關的題目嗎？這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過.你能利用它嗎？如果不能先嘗試解一道與它有關的題目.努力找出已知數據與未知量之間的聯系，如果找不到直接的聯系，就考慮輔助題目.在這一步中教師能為學生所做的最好的事情是通過不顯眼的幫助，引導學生自己獲得一個好的思路.這個幫助應該是普遍性和常識性的問題和建議.

第三步執行方案.執行你的方案，檢查每一個步驟.要對第二步的分析進行邏輯重組，檢驗每一個細節的合理性，不再有可能的隱藏的錯誤或含糊之處.

第四步回顧.波利亞認為，沒有回顧這一步所有的解題都是就題論題.你能檢驗這個結果嗎？你能以不同的方式推導出來嗎？你能把這個結論運用到其他題目中嗎？回顧可以使我們做到舉一反三.

二、實踐應用

（4）回顧：

求解定值問題，首先要求出待求定值式的代數表達式，然后對代數表達式進行化簡、整理，消去變量，得到定值.第二問中設出lBP的斜率k，得lBP的方程，結合橢圓的方程求出點P的坐標，聯立lAD和lBP的方程解得點M的坐標，方案一先求出lDP的方程，再求出點N的坐標，這是大多數學生都會用的一種最容易想出來的方法，方案二是根據D，P，N三點共線利用斜率相等得到點N的坐標，這一種方法不容易想，但是很好用，之后求出lMN的斜率后代入所求的式子即可得到答案.

推廣：已知點P（不在坐標軸上）是曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的動點.點A（-a，0），B（a，0），D（0，b），設lDP交x軸于點N，lAD交lBP于點M，則2kMN-kBP=ba.

三、總 結

圓錐曲線在高考中是一大重點、難點，很多學生對第二問基本是放棄的，因為水平一般的學生是很難做出來的，但是第二問所占分值是比較高的.此例子利用波利亞解題表來指引第二問，可以看出很多分析步驟是大部分學生都可以想出來的.波利亞的解題表給我們做題指引了一條明路，不但解決了問題還培養了學生思維的發散，真正達到了理解和應用，從而提高解題能力.四個步驟中的問題對教師教學和學生做題自問都有極其重要的意義，可以為學生打開解題思路.尤其是第四步回顧的工作是很多學生不會做的，但是在“解題表”中我們知道了回顧反思不僅是對解題過程的回顧，更是我們重新梳理整個題目解答過程中的思路的過程，總結解題中的經驗和教訓，達到“做一題，會一類”的目的，從而達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]鄭云升，向婉詩，劉成龍.《怎樣解題表》指導下的解題實踐——以2012年成都中考第24題為例[J].數學教學通訊，2017（5）：48-51.

[3]涂敏，湯強.波利亞“怎樣解題”表的應用與評價[J].數學學習與研究，2015（13）：132.

[4]韓婷婷.波利亞“怎樣解題”表在中學幾何題中的運用——以2016年山西中考數學22題為例[J].甘肅高師學報，2017（12）：63-67.