“貌異質同”話類比

翁荔

【摘要】為了幫助學習者解決問題，教師應從溝通聯系的角度出發，在探知學生的認知結構的基礎上，提出恰當的、對學生有啟發的類比案例，幫助學生認識概念、加強理解、強化技能、提高能力，本文通過具體的案例論述如何利用基于問題解決中的類比案例來指導學生學習.

【關鍵詞】問題解決，類比，同質

【基金項目】江西教育科學“十三五”規劃課題《基于問題解決的初中數學教學研究》（17PTYB008）研究成果.

類比是解決數學問題的常用方法.波利亞曾經說過：“類比是問題解決的引路人.”在教學活動中，通過類比來促進教學得到了很多研究人員和學者的認可.從認知心理學角度來看，類比就是特殊對象之間的特定信息的轉移.運用類比有助于提出猜想、完善圖式、促進新發現的產生，但是學生的類比能力不是自然形成的，需要教師不斷深入地培養.在基于問題解決的學習中，類比案例以問題屬性的相似點和屬性關系之間的相似點為基礎，通過提供本質相似或相同的問題引發學生的思考，幫助學習者補全認識、通透理解、提高思維品質，現舉例與同行探討.

一、以體會概念為核心的比較

問題1 如圖1所示為一種折疊門，此門中間是左右兩扇相等的活頁門，活頁門的右軸固定在門框上.門的上下裝有軌道，可以推動左側的活頁門進行開關.現把圖1的俯視圖簡化成圖2，已知兩扇活頁門的寬OB=OC=60 cm，軌道AB=120 cm，點B固定時，點C在AB上左右運動，OC與OB的長度不變，求當點C從點A向右運動60 cm時，點O在此過程中運動的路徑長.

問題2 如圖3所示為一電動門，當門水平下落關閉時，可以抽象成圖4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此時它與入口OM等寬，與地面的距離AO=0.2 m，當門抬起時，變為圖5的平行四邊形AB′C′D，此時，AB′與水平方向的所夾的角度為60°.求在電動門抬起至圖5的過程中，點C所經過的路徑長.

解 問題1：60·π·60180=20π，問題2：60·π·3180=π.

學生的解答情況：這一組問題采取先解答問題1后呈現問題2的方式.剛接觸問題1時，很多學生無從下筆，困難之處在于從C，O這兩個動點的角度很難確定點O的運動軌跡，問題2在問題1的基礎上，學生有了部分解題經驗，但是很多學生錯誤地把A當作定點，CA當作定長來解決問題.

類比點 這一組問題的“同質”之處是對圓的概念的理解，即到定點的距離等于定長的點的集合.這個定義可以等價為圓是確定了一個定點和一段定長后，另一動點形成的圖形.

教學小結 用知識解決問題的情況，可以反映學生對知識的掌握程度.通過典型問題的設置，能夠幫助學生深化知識的理解，把握核心的思想方法，實現知識結構的調整、補充和完善.這組問題是對圓的定義的深入理解，用運動的觀點來理解圓的定義，把動點的軌跡問題轉化為找定點和固定線段.通過這樣的比較，使學生能從不同角度認識概念，辨識非本質屬性和本質屬性，建立概念的多元聯系，對發展學生的概括能力有著重要的意義.

二、以加強理解為核心的比較

問題1 如圖6所示，點P為線段AB外一動點，PA=m，AB=n，請思考點P位于何位置時，線段PB的長取最大值，并求出這個最大值（用含m，n的式子表示）.

問題2 如圖7所示，點D為線段EF外一動點，EF=3，DE=1，分別以DE，DF為邊，作等邊△DEG和等邊△HDF，連接GF，HE，求線段HE的最大值.

問題3 如圖8所示，已知⊙O的半徑為3，OC=5，點B是⊙O上的動點.在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，連接AO.現將AO繞著點A逆時針旋轉90°得到AD，連接CD，求AO的最大值.

解 問題1：當點P位于BA的延長線上時，線段PB取最大值，為m+n=2.問題2：易證△GDF≌△EDH，∴線段HE的最大值=線段GF的最大值.當線段GF的長取最大值時，點G在FE的延長線上，∴最大值為3+1=4.問題3：易證△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以當點D位于OC的延長線上時，OD取最大值8.此時AO=22OD=42.

學生的解答情況：在實際解決問題中，很多學生不理解問題1，為什么點P位于BA的延長線上時，線段PB取最大值，導致后面的問題無法解決.問題2中隨著D點的運動，變化的線段很多，學生眼花繚亂、辨識不清.問題3中學生很難想到通過求線段OD來推導線段AO.

類比點 這一組問題的“同質”之處是借助三角形三邊關系對圖形的理解，如圖6所示，隨著∠B的變化，△ABC分別經歷了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，雖然三角形不同，但都滿足三角形兩邊之和大于第三邊，因此，能夠理解當它不構成三角形，即A，B，C在同一條直線上時，有最大值a+b.

教學小結 布魯納曾指出，比較在幫助學生直觀理解和發展抽象水平方面的作用極大.這組問題，看似復雜圖形的不同變化，但其最根本的、突破的關鍵是如圖6所示的基本圖形.這個本源圖形的確定就是逐漸排除無關屬性，突出關鍵屬性的過程.從學生的答題情況來看，學生缺乏對基本圖形即對運動變化中線段長度的理解.由于學生的心理發展水平不夠，教師就需要引領指導學生認識更多細節、本質的內涵，只有通過多角度研究和分析獲得的理解，才最有可能遷移到其他事例上去.

三、以強化技能為核心的比較

問題1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的兩個實數根分別為x1，x2，求x1+x2.

問題2 已知點A（x1，6），B（x2，6）是函數y=x2-2x+4上兩點，則當x=x1+x2時，函數值y為多少？

問題3 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點（-3，0），（1，0），求ba.

解 問題1：x1+x2=43，問題2：x1+x22=1，則x=x1+x2=2，∴y=4，問題3：x1+x2=-ba=-2，∴ba=2.

學生的解答情況 學生對公式的運用有很大的“歸屬感”，一元二次方程的問題用韋達定理，拋物線涉及a，b的問題，用對稱軸公式，例如問題3用拋物線頂點的橫坐標解決，即-b2a=-3+12.

類比點分析 這一組問題的“同質”之處是根與系數的關系.問題1是根與系數關系的顯性表征.問題2是由一元二次方程過渡到拋物線情境的半顯性表征，問題3是內顯表征，其較前兩問的層次體現在：（1）由二次函數與一元二次方程的關系得，拋物線與x軸的交點即函數值y為0的情況，（2）從3x2-4x-4=0到ax2+bx+c=0的數字到字母的抽象，（3）由公式的順推到公式的逆推.

教學小結 從一個示例遷移問題解決技能于新的問題，需要學生從該示例中構建起此類問題的圖式，并且將它用于新的情境中.只用一個示例往往會使學生側重于過程的模仿，而忽略問題的結構特征，使學生無法解決變換的其他問題或不能把此方法遷移到其他問題.通過這組問題，教師可以引導學生把方程知識、函數知識有機地聯系起來，形成合理的知識組塊.當遇到相關問題時，學生能夠通過這些知識的合理轉換，形成清晰明了簡潔的解決方案.

四、以形成能力為核心的比較

問題1 一件工作，小明做10天可以完成，小紅做15天可以完成，問兩人合作幾天可以完成？設兩人合作x天可以完成，則可列方程為.

問題2 《九章算術》是我國古代著名的數學著作，其中有一題：“今有鳧起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”（鳧：野鴨）現假設鳧與雁從南海和北海同時起飛，經過x天相遇，則可列方程為.

學生解答情況 在這組問題中，教師先展示問題2，大部分學生從速度這個角度來思考問題，無法列出方程，然后教師展示問題1，由問題1的類比很多學生立即想到了解題方案，最后教師鼓勵學生舉出不重復的例子，深入理解.

解 問題1：110+115x=1，問題2：17+19x=1.

類比點 這組問題的“同質”之處是“工程問題”中的“1”，完成整項工作、飛完整段路程都是“1”，由具體的“1”到抽象的“1”是學生思維深刻性的提升.

教學小結 類比的依據是兩個不同事物的相同屬性，顯性的屬性容易察覺，但是本質、深層次的屬性需要一定的挖掘能力.第三學段的數學學習，是具體形象思維向經驗型抽象思維的培養階段，此組比較，是學生從具體的事例，過渡到典型事例，再抽象出本質的活動，是學生認知行為的訓練.

綜上所述，學生解決問題時往往局限于具體情境，就事論事，不會從整體上把握和分析，難以實現向相似情境的遷移.基于問題解決的類比案例，從溝通聯系的角度出發，在學生的“最近發展區”內，提出恰當的、對學生有啟發的案例，對相關問題進行探討，是學生加強理解、提高技能、發展能力、培養態度的有效途徑.

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