淺談中學數學中的悖論教學法

賀萍 劉君

【摘要】悖論教學法應用于中學數學課堂有利于培養中學生的學習興趣，增強學生對數學文化的了解，還可以提高學生的邏輯思維能力.本文基于中學數學基礎知識，通過實例說明分析悖論教學法對中學生學習數學的作用.

【關鍵詞】悖論，初等數學，悖論教學法

悖論是由Paradox翻譯過來的，采用徐利治教授主張的說法，“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或是證明了這樣一個個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式，那么，我們就說這個理論包含了一個悖論.”悖論教學法就是將悖論的思維方式適當地引入教學課堂的一種教學方法.其過程是首先在課堂上提出一個悖論A，然后組織學生討論與質疑悖論A，再引導學生由已有的知識B否定悖論A，最后得出新結論C.

一、悖論教學法的應用

中學數學中出現的謬誤很多是因為學生的思維定式或對基本的定義和定理的認識不足，又或者是忽視了定理的適用條件等原因造成的.所以，中學數學中的“悖論”很多都有一定的偽裝，這種偽裝對學生的解題有一定的阻礙作用，教師就可以利用這些偽裝實施悖論教學法.

（一）利用學生的思維定式實施悖論教學法

1.提出悖論A——任意三角形都是等腰三角形

如圖所示，作∠A的角平分線和底邊BC的垂直平分線交于點O，從O點分別向AB，AC引垂線，垂足分別為D和E.因為∠ADO=∠AEO=90°，AO=AO，所以△ADO≌△AEO，AD=AE.因為OF垂直平分BC，所以OB=OC，又因為∠BDO=∠CEO=90°推出△BDO≌△CEO，BD=CE.根據圖示和分析可以得出AB=AD+BD，AC=AE+EC，即AB=AC，所以結論為△ABC是等腰三角形.

2.激發學生的興趣，質疑悖論A

因為三角形按邊分類可以分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形，所以任意三角形都是等腰三角形這個結論是錯誤的.

3.根據知識否定悖論A

通過準確的作圖，明確出現這一錯誤的原因是因為作圖不準確.分別作頂角A的角平分線和底邊BC的垂直平分線，發現兩條線的交點是在三角形外的，而題目中給出的圖形是錯誤的，導致在解題過程中出現了錯誤.

交點O在三角形外，AD=AE，BD=CE，但是AB=AD+BD，AC=AE-CE，所以AB≠AC.

4.得出結論

不是任意一個三角形都是等腰三角形.在做題的過程中要準確作圖，根據題目要求自己動手作圖，不要被不準確的圖形所“迷惑”.（提醒學生要正確作圖，準確作圖）

（二）利用學生對定義的模糊認識導致悖論

所以任意兩個數都相等.

2.激發學生的興趣，質疑悖論A

實數與數軸上的點是一一對應的，每個實數大小不相等，所以不可能任取數軸上的兩個點都是大小不同的.

3.根據平方根知識否認悖論A

如果兩個數的平方相等，那兩個數的絕對值就是相等的，但是兩個數的大小可能相等也可能不相等.若x2=y2，則只能推出x=±y，而不能說明x=y.

4.鞏固概念的理解，加強定義教學

二、悖論教學法對中學生學習數學的影響

悖論教學法培養學生對學習數學的興趣.在幾何教學時可以講幾個有趣的數學幾何悖論引起學生的好奇心，比如，在講解案例1時，可以給學生展示彭羅斯階梯、莫比烏斯環等，形象的圖像可以增強數學的趣味性，使得中學數學課堂不再枯燥乏味.

悖論教學法增強學生對數學文化的了解在講一個新知識前可以把涉及的數學家給學生介紹一下，例如，芝諾（芝諾悖論）、孔多塞（投票悖論）、歐布里德（說謊者悖論）等，這些數學家對數學的貢獻和對數學嚴謹的態度也會給學生樹立榜樣.

悖論教學法培養學生的反向思維和嚴謹性.學生平時做題都有正確的前提條件，所以學生的思維大都是正向的，逆向思維較為欠缺，所以在布置習題時可以故意將題目出錯，學生在解題時就會對前提和結論反復思考，逆推和正推同時進行，在這個過程中學生的逆向思維和對解題的嚴謹性就會加強.

三、小 結

綜上所述，悖論教學法可以在教學的每個環節中都利用到，比如，新課的導入、知識點的鞏固和習題的布置等.教師要利用好中學生所處階段的發展特征，比如，思維定式、知覺的恒常性和對定義定理的模糊概念等，調動學生的好奇心和求知欲，讓學生參與到課堂學習中.

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