高等數學微積分理論的辯證思維

王永靜

【摘要】在高等數學中，微積分理論作為其重要組成部分，該理論具有重要的哲學意義，只有對理論中所富有的哲學意義進行充分理解與認知，才能使微積分理論得到更好的學習和掌握，而這就需要在高等數學教學中，培養學生的辯證思維，幫助學生掌握辯證思維中的基本規律及其運用方法，使學生能夠利用辯證思維來理解微積分理論中的哲學原理，從而提高高等數學教學中微積分理論的教學成效.鑒于此，本文對高等數學微積分理論的辯證思維進行相應的探討.

【關鍵詞】高等數學，微積分，辯證思維

微積分理論是高等數學中的主要內容之一，微積分理論是由德國學者萊布尼茲與英國偉大的物理學家牛頓在17世紀所提出的，無論是萊布尼茲還是牛頓，不僅是杰出的科學家，同時也是令人矚目的哲學家，這也使微積分理論具有非常濃重的哲學色彩.微積分理論的提出，為物理學、天文學、數學等領域做出了巨大的貢獻，推動了這些領域的發展，并對西方哲學產生了極為深遠的影響.在微積分理論中，其所涉及的概念與方法都有著極為深刻的哲學思想，只有充分理解這些哲學思想，才能使微積分理論得到更加透徹的理解和掌握，而這就需要通過辯證思維來對其哲學思想進行深入的分析與研究.因此，本文對高等數學中微積分理論的辯證思維進行探討與研究，明確了辯證思維中的基本規律，并闡述了辯證思維在高等數學微積分理論中的具體運用方法.

一、高等數學微積分理論中辯證思維的基本規律

根據辯證唯物主義思想，人類所處的世界是由物質所組成的，而這些物質時刻都在運動、變化和發展，這也使世界萬物具有非常緊密的聯系.通過唯物辯證法，可對事物在運行、發展及變化過程中所具有的潛在規律進行總結，例如，質量互變規律、對立統一規律等都是以唯物辯證主義為核心，通過辯證思維的運用所總結出的規律.對質量互變規律來說，該規律能夠對事物的變化表現進行統一描述，其認為質和量的統一形成事物，這也使事物在變化時會發生質變和量變，通常而言，量變具有連續性和漸進性的特點，如果事物中的量達到一個臨界點，該臨界點位于質的區間中，則該事物便會出現質變.而對對立統一規律來說，其主要是對微積分理論中關于微分和積分、有限和無限、變量和常量間的矛盾關系進行總結的，該規律認為無論是微分還是積分，無論是常量還是變量，無論是有限的還是無限的，其都具有相互對立但卻具有統一性的關系，當其達到某種條件時，便會由對立關系轉化為包容關系，從而使其在特性上表現為對立且統一.微積分是以變量作為研究對象的，從微積分理論中的函數概念可以了解到，其分為一元函數和多元函數，在世界中，事物的數量既可以是一個，也可以是很多個，但其量變與質變的范圍卻不只是處于區間中，還有可能是處于多維區域中，某些臨界點不僅位于邊界上，還可能位于區域的邊界.此外，還可采用其他特殊的形式來對臨界點及量變進行表達，例如，∑an=a1+a2+…+an+…這一無窮級數便可以看作是有限項和的推廣，在該無窮級數中，其內部既有著內在的聯系，同時彼此之間有著巨大的差異.對有限項和來說，其本身便可當作一種具有特殊性質的無窮級數來對待.不過通常來說，普通的無窮極數在具體情形上還包括發散與收斂，當無窮級數為收斂情形時，在某種程度上也可能難以滿足有限項和中的結合律及交換律.起始點為有限項和，終止點為無窮級數，量變可以是求和項數，其只能按照正整數來進行取值，因此，有限項和的變化可以看作是離散的.如果求和項數無窮盡時，便會出現質變，此時其質變的臨界點也同樣是無限的，并且是無窮大的.同樣，對∫+∞af（x）dx這一定積分來說，其推廣的形式是通過廣義積分來表現的，廣義積分出現的量變可以看成是積分區間發生了改變，而且其量變是具有連續性特點的，但如果廣義積分出現質變，則其臨界點卻具有無窮大的特點.總而言之，在微積分理論中，利用辯證思維來對其基本規律進行總結，可以了解到，如果以質量互變規律來進行辯證，則微積分理論的研究對象變量在維度上既可為一維，也可為多維，并且可能具備離散與連續兩種情形，而其臨界點卻既可能是有限的，但同樣可能是無窮的.

二、高等數學微積分理論中辯證思維的運用方法

（一）辯證思維中分析和綜合的運用

人類在對問題進行處理和解決時，往往需要利用分析與綜合的方法來進行，可以說，分析與綜合也是辯證思維中的基礎，通過分析，可使復雜的問題或事物得到有效分解，然后以孤立、靜止的方式對分解后的各個部分或階段進行研究，進而獲得事物所具有的細微性質.通過綜合，則可使人們將獲得事物的細微性質進行各個部分的有機整合，從而挖掘出事物在宏觀與整體層面上所具有的性質.通過將分析與綜合進行結合運用，可使人們利用辯證思維對事物的目的進行有效的認識.在微積分理論中，辯證思維的運用便是采用分析與綜合相結合的思維方法來實現的，進而使其能夠對高等數學中微積分理論進行更好的學習.以下以微積分理論中的定積分概念為例，對辯證思維中分析與綜合這兩種思維方法的運用進行說明和探討.

對定積分概念來說，其具有對應的物理背景，在具體的實例中，需要對某個曲邊梯形的面積進行求解，該曲邊梯形中的直線可表示為x=a，x=b，y=0，而曲線則表示為y=f（x）（x≥0），x∈[a，b]，該問題是無法通過初等數學來進行解決的.因此，在利用分析思維方法時，需要將該曲邊梯形進行分割，使其能夠被劃分成i個較小的曲邊梯形，然后以靜止不變的角度對第i個曲邊梯形進行研究，在研究過程中，[xi-1，xi]范圍內的函數f（x）是固定的，也就是說將第i個曲邊梯形當作矩形來看待，則可得出它的寬是Δxi=xi-xi，而它的高則可表示為f（ξ），其中，ξ是[xi-1，xi]范圍內的某個任意點，進而得出該曲邊梯形的面積可表示為ΔSi≈f（ξ）Δxi，然后便可通過綜合法來進行求和，從而得出所有小曲邊梯形的面積的近似總和，即S≈∑ni=1f（ξ）Δxi，通過對整個曲邊梯形進行逐漸細化的分割，便可在分割極限下計算出整個曲邊梯形的總面積，該總面積也是某個極限的精確值，即S=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξ）Δxi.

（二）辯證思維中抽象化與具體化的運用

在辯證思維中，抽象化和具體化是其高級運用形式，通過對客觀的事物進行抽象化，可概括該事物的某項本質，以感性具體為基礎，通過辯證思維中的分析與綜合方法的應用，從而使思維變得具體化或理性化，進而幫助人們能夠從多個方面來把握事物的屬性，并從抽象層面逐漸上升至具體方法，其以抽象邏輯為初始點，通過相應的中介來實現思維具體化.運用辯證思維來對微積分理論進行抽象化和具體化時，不論是函數極限 limx→x0f（x）=A，還是數列極限 limn→∞an=a，或是其他類型，都可通過分析與綜合的辯證思維方法和抽象化與具體化的辯證思維方法來對其定義內的“ε-δ語言”與“ε-N語言”進行體現.在極限過程中，其過程的變化是無限的，因此，為了使描述更加方便，需要將其進行各個階段的劃分，使不同階段有著不同的變化，也就是通過函數f（x）或數列{an}來對部分階段進行考慮，即|f（x）-A|<ε或|an-a|<ε.

在該表達式中，可采用0.01，0.001等正數來對ε進行表示.針對各個階段的變化，以孤立且靜止的角度來進行研究，其條件中的變化進程應由自變量n或x來進行滿足，也就是說，必須通過任意一個正整數N，確保n大于N，或是利用某個正數δ來確保|x-x0|位于0和δ之間，從而使這些階段的變化能夠利用極限過程來進行具體化表達.由于不同的變化階段非常多，甚至是無窮盡的，并且其特征是較為類似的，因此，需要通過抽象化的方式對其進行概括，也就是對極限過程進行相應的定義.

三、結 語

總而言之，辯證思維作為微積分理論中的重要學習方法，學生在學習高等數學中的微積分理論時，必須了解微積分理論中的哲學原理，通過辯證思維的運用來分析高等數學和哲學之間的關系，以便于更好地學習高等數學中的微積分理論，從而提高高等數學中微積分理論的學習成效.

【參考文獻】

[1]李中，肖勁森.辯證法思想在微積分教學中的體現[J].才智，2018（3）：70.

[2]謝錫麟.基于數理知識體系自身與傳播研究的微積分教學[J].復旦學報（自然科學版），2018（2）：250-270.

[3]高大成.淺談唯物辯證思想在高等數學教學中的滲透[J].學周刊，2018（16）：6-7.

[4]李彥.例論微積分學中幾類矛盾的對立統一[J].科教文匯（下旬刊），2018（8）：50-51.