基于牛頓迭代法的LPRE損失函數的最小化問題

明浩 劉惠籃 張凡

【摘要】乘積模型在經濟增長等正的測量數據中應用十分廣泛.本文采用LPRE（最小乘積相對誤差）準則，在五種不同隨機誤差下，基于牛頓迭代法給出了乘積模型的參數估計，并對比LS（最小二乘法）準則得到的參數估計.通過數值模擬仿真，說明在某些隨機誤差的分布下，LPRE估計優(yōu)于LS估計.

【關鍵詞】LPRE估計，LS估計，牛頓迭代法，R軟件

【基金項目】國家自然科學基金（11761020），貴州大學大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（2018520106），貴州省科技計劃項目（黔科合LH字[2017]7222），貴州省教育廳青年科技人才成長項目（黔教合KY字[2017]104）資助課題.

一、引 言

實際生活中，許多數據為正的，乘積模型保證了預測值為正，能更有效地處理這類數據，因此，也得到了廣泛的應用.但相比于普通線性回歸，乘積模型的參數估計卻更受挑戰(zhàn)，一方面，采用不同的最小化準則所得到的參數估計也不同，另一方面，不同的最小化準則的計算難易程度也是不相同的.

對于目標函數的最小化問題，常采用最小二乘法（LS）、最小絕對偏差（MAD）、最小絕對相對誤差（LARE）和最小乘積相對誤差（LPRE），但由于LS和LPRE估計是可微的，這就將目標函數最小化轉化為求解目標函數一階導數根的問題，相對MAD和LARE求解更具有優(yōu)勢.對此，國內外也有了許多理論研究成果，如Chen等人[1]研究了LPRE準則在乘積模型中的估計問題，Liu等人[2]研究了LPRE準則在單指標乘積模型中的估計問題.

二、研究方法

（一）模型簡介

四、結 語

本文通過數值模擬分別給出了五種隨機誤差下乘積模型的LPRE估計和LS估計，仿真實驗結果說明，LS估計并非在所有誤差分布下都優(yōu)于其他估計.因此，在實際應用中，針對非負數據建模，適當選取最小化準則，可以得到更好的模型參數估計.同時，LPRE損失函數的無窮可微性也給求解乘積模型的參數估計帶來了便捷，基于R軟件采用牛頓迭代法求解LPRE估計，一方面，提高了對牛頓迭代法的認識，另一方面，也提高軟件編程的能力.

【參考文獻】

[1]Chen K，Lin Y，Wang Z，et al.Least Product Relative Error Estimation[J].Journal of Multivariate Analysis，2016（144）：91-98.

[2]Liu H，Xia X.Estimation and empirical likelihood for single-index multiplicative models[J].Journal of Statistical Planning & Inference，2017（193）：S0378375817301404.

[3]胡大海.基于乘積相對誤差準則的模型研究[D].合肥：中國科學技術大學，2017.

[4]薛毅，陳麗萍.統計建模與R軟件[M].北京：清華大學出版社，2007.

[5]張丹.乘積模型的變量選擇[D].開封：河南大學，2014.