必要性探路 充分性搭橋*

湖南省長沙市明德中學

《普通高中數學課程標準(2017版)》明確了當代中學生學習數學應具備的必備品格和關鍵能力,并提煉為六大數學學科核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

作為最具學科特色的邏輯推理,幾乎在數學學習和探索中無處不在,處處彰顯著化歸與轉化的數學思想,而轉化又通常要求等價轉化,即充分性與必要性的兼備.但在很多情況下,我們在探求一個參數的取值范圍時,若沒有較好的切入點,如同在茫茫大海撈針一般.

事實上,題目總會有一個顯性或隱性的條件可以作為解題的突破口,這時我們可以順著這條線索,找出使問題成立的必要條件,由于必要條件得到的取值范圍是必須滿足的取值范圍,所以我們接下來對充分性的驗證只需限定在這個范圍進行,這就是“必要性探路”,常見于含參數的不等式恒成立問題,這也是高考試題命制者十分青睞的題型.

探索范圍大大縮小,探索有了明確的方向,而要完整地解決問題,就需“充分性搭橋”,這座橋怎樣搭?可以概括為兩個方法,其一是直接證明由必要性得出的取值區間(或其子區間) 恰能使問題恒成立,其二是反證,即證明不在這個區間時,都可以找到反例.

1.活躍在高考試題中的“必要性探路,充分性搭橋”的思維

1.1 顯性的探路條件,直接觀察代值顯性的探路條件可從題目所給自變量的取值范圍直接觀察出來,一般是區……