例析破解三棱錐外接球問題的六種方法

廣東省佛山市南海區黃岐高級中學

廣東省廣州市廣東華僑中學(510000) 楊 墁

在高中數學教學中,立體幾何是培養學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養的主要素材,也是高考考察的重點內容,而三棱錐作為空間中最簡單的多面體,一直備受命題者的青睞,尤其是以三棱錐為載體求外接球的表面積和體積等問題,這類題目抽象,解法靈活多變,對學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運算求解能力要求較高,常令許多學生陷入困境.本文結合實例,根據實際問題中三棱錐的特點,談談解決三棱錐外接球半徑的幾種方法,以期對一線教師的教學提供參考.

方法一 利用長方體求三棱錐外接球半徑

根據球的幾何性質,到幾何體各個頂點距離相等的點即為其外接球球心,因此,長方體的兩條體對角線交點即為其外接球球心,體對角線長即為其外接球直徑,設長方體的長寬高分別為a,b,c,則其外接球半徑若三棱錐的各個頂點與長方體的頂點重合,則他們的外接球相同,故可利用長方體求三棱錐外接球半徑.此類三棱錐大體上可以分為三類:墻角三棱錐、鱉臑、對棱相等型.

(一)墻角三棱錐有共端點的三條側棱兩兩垂直,這樣的三棱錐看起來像一個墻角,它具有長方體一個“角”的幾何特征,我們可將其放置于長方體中進行研究.

例1(2019年高考全國Ⅰ卷理科) 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中……