類比尋方法 整合提素養——多面體外接球半經的求法探究

廣東順德羅定邦中學

求多面體的外接球半經問題,是近年高考的熱點和難點之一,已有不少文章對其進行了探究,本文從多邊形的外接圓圓心、半徑的確定類比到多面體的外接球球心、半徑的確定,并且由球心的確定方法將各類多面體的外接球題型進行了分類.

一、補成長方體,求其對角線長即得球直徑

類比矩形內接于圓,直徑就是矩形的對角線.長方體內接于球,這是因為長方體的四條體對角線長相等,交于一點且互相平分,這點就是球心,體對角線就是球的直徑(圖1).長方體可以切割為墻角錐(共頂點的三條棱兩兩互相垂直(如圖2),或底面是長方體的一個面的四棱錐);陽馬(不共點的三條棱兩兩互相垂直(如圖3),或有不同方向的三條兩兩互相垂直棱可以作為長、寬、高的三棱柱、四棱錐等);對棱體(對棱相等的四面體,如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

這些多面體可補成長方體,長方體8個頂點所在的球面就是這些多面體的頂點所在的球面,其外接球就是長方體的外接球,直徑就長方體的體對角線.要求這些多面體的外接球直徑,只要求出它們所在長方體的體對角線長即可.我們把這種方法稱為補體法.

例1一個四面體的所有棱長都為四個頂點在同一球面上,求此球的表面積.

解四面體所有棱長相等,則對棱相等,可補成一個長方體,設長,寬,高為x,y,z,則x2+y2=2;x2+z2=2;y2+z2=2; 如上三式求和得,外接球直徑R滿足(2R)2=x2+y2+z2=3,所以S表=4πR2=3π.

二、已知某個側面的外心及該面上的高時確定外……

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中學數學研究(廣東) 2020年5期

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