線性交替的雙數列通項問題揭秘*

福建省惠安第三中學

一、線性遞推數列模型的內涵與外延

對于滿足:an+1=kan+b(n ∈N*,k0)的數列{an},因其前后項關系類似于函數y=kx+b(0),故常稱之為線性遞推數列.這樣的遞推關系模型涵蓋了多種常規數列:

(1) 當b=0時,an+1=kan(n ∈N*,k0),{an}為等比數列;

(2) 當k=1時,an+1=an+b(n ∈N*),{an}為等差數列;

(3) 當10時,an+1=kan+b可配湊為的形式,說明{an+c}是首項為a1+c,公比為k的等比數列.

值得一提的是,很多復雜遞推關系模型往往是由“an+1=kan+b”變式替代而來的:當數列{an}的通項an表示某一數列{bn}的前后項關系時,比如說an=pbn+1+qbn(p,q為非零常數),將此代入an+1=kan+b中就得到bn+2,bn+1,bn的關系.反之,給定bn+2,bn+1,bn的線性遞推關系,我們一般可通過恰當的配湊變形、構造轉化為常規數列來求解.應該說,諸如這類“由某一數列前后幾項線性關系構造新數列求通項”的問題中,其遞推關系模型往往來源于對“an+1=kan+b”的迭代或轉型.

當數列{an}的通項an表示某兩數列{bn},{cn}的通項關系時,比如說an=pbn+qcn(p,q為非零常數),將此代入an+1=kan+b中就得到bn+1,bn,cn+1,cn的“混合”關系,這其實就是雙數列的遞推關系,其中數列{bn}和{cn}之間可能是獨立(彼此無關)的,也可能是交錯(彼此相關)的,據此我們可初步領略到那些雙數列線性遞推問題的生成根基.

二、線性交替遞推關系的代換與變式

很多線性雙數列通項問題的求解關鍵是圍繞“雙數列的線性組合”來構造常規數列的.

例1(2019年高考全國ⅠⅠ卷理科第19題) 已知數列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(Ⅰ) 證明:{an+bn}是等比數列,{an-bn}是等差數列；

(ⅠⅠ) 求{an}和{bn}的通項公式.

解析將4an+1=3an-bn+4和4bn+1=3bn-an-4兩式分別進行相加、相減,化簡整理易得:2(an+1+bn+1) =an+bn,an+1- bn+1=(an-bn)+2.故{an+bn}是以a1+b1=1 為首項、公比為的等比數列an+bn=且{an-bn}是以a1-b1=1 為首項、公差為2的等……