立體幾何問題的模型化處理策略——以長(正)方體為例

湖南省衡陽市第八中學

高考中立體幾何板塊的考查,其中空間中的線線、線面、面面關系及其相關量的計算與證明是主要方向,在高三復習教學中,如何使學生的空間想象能力更上一個臺階,是擺在廣大數學教師面前的一大課題.本文試圖以長方體和正方體及它們變形出來的模型為例,歸納整理模型化處理策略在立體幾何問題的應用,培養學生空間感,尋找解題的突破口,提高解題能力.

問題呈現(2017年高考全國Ⅲ卷第16題)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉,有下列結論:

解析此類問題如果沒有具體模型,不太好考慮.發現有三直線兩兩垂直這一前提條件,可考慮將問題情境放入長方體或正方體中考慮,即構造具體模型求解.

圖1

由題意知,a,b,AC三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖1.不妨設圖1中所示正方體邊長為1,故邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉,則A點保持不變,B點的運動軌跡是以C為圓心,1 為半徑的圓.以C為坐標原點,以為x軸正方向,為y軸正方向,為z軸正方向建立空間直角坐標系.則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量設B點的起始坐標為(0,1,0),直線b的方向單位向量b=(1,0,0),|b|=1,設點B在運動過程中的坐標B′(cosθ,sinθ,0),其中θ為CB′與CD的夾角,θ ∈[0,2π).

策略一 巧用長(正)方體判斷位置關系問題

當問題沒有給出具體的圖形,只是給出了相關點、線、面的關系(如平行、垂直等),要判斷某些元素的位置關系時,通常可考慮構造長方體、正方……