2019年高校自主招生試題中的不等式問(wèn)題

北京市十一學(xué)校

不等式是現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)研究的中心,也是清華大學(xué)、北京大學(xué)等高校自主招生考試的熱門考點(diǎn)和難點(diǎn)之一.僅2019年,在清華大學(xué)的自主招生及領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)3道不等式題目(共35道題目),清華大學(xué)的優(yōu)秀中學(xué)生暑期綜合營(yíng)試題中出現(xiàn)1道不等式題目,在北京大學(xué)的三位一體招生數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)3道不等式題目(共20道題目),北京大學(xué)綜合營(yíng)中不等式題目更是占到文理科共7道題目中的3道.在其他高校的招生考試中,不等式題目也常有出現(xiàn).今年,高校招生政策面臨重大調(diào)整,“強(qiáng)基計(jì)劃”完全取代了實(shí)行17年的自主招生政策,但基于選拔人才的初衷和“一校一策”的依托,預(yù)計(jì)題目類型不會(huì)發(fā)生重大改變,因此參考2019年的自招試題,對(duì)于備考和研究新的招生考試,依然有著很重要的意義.

自招考試中的不等式內(nèi)容通常是多元均值不等式,有時(shí)會(huì)涉及柯西不等式和多元函數(shù)的最值問(wèn)題,其難度不低于聯(lián)賽一試中的不等式難度;從方法上看,配湊系數(shù)法和換元法的考察較為頻繁,求導(dǎo)法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法也常有涉及,有時(shí)也經(jīng)常與解析幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、向量、因式分解等知識(shí)板塊鏈接起來(lái),范圍很廣,應(yīng)予以重視.

例1(2019年上海交大自招考試) 實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-5ab+4b2=19,求a2+b2的最大值.

解答由題設(shè),解得當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),即a2+b2的最大值為

例2(2019年浙大自招考試) 已知x2+y2+z2=1,求的最小值.

解答由常見不等式可知,解得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)……