不等式選講模塊中兩個重要定理的應用

廣東省汕頭市第一中學

2019年高考全國Ⅰ卷和Ⅲ卷的不等式選講問題均考察了不等式的證明,再度引起了我們對今年備考不等式證明這一內容的重視.說起不等式證明的常用方法,除了常規為我們所認知的作差法,分析法之外,自然會想起兩個重要的工具——基本不等式和柯西不等式.本文從這兩個定理的應用以及交匯的角度做了探討,與大家共同研究學習.

一、基本不等式在證明中的應用

基本不等式是在人教A版教材必修5課本中《不等式》章節的一個內容,在選修4-5《不等式選講》又列入其中,其公式本身在不等式證明中主要涉及二元與三元兩種形態基本不等式.

從現行全國卷高考題考查分布來看,基本不等式主要考查的還是二元基本不等式,三元基本不等式的考查目前僅在2019年全國Ⅰ卷中有所涉及.

技巧一涉及三元不等關系,尤其次數非三次(或三次方根)的情況,常以二元基本不等式為主,利用三式相乘或者相加,達到證明目的.

例1設a,b,c均為正數,且a+b+c=1,證明:

證明(1) 因為a,b為正數,所以同理可得當且僅當時,等號成立,故

(2) 因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,由基本不等式有

點評本題的設計是常見的三元不等關系,但證明過程使用的卻是普通的二元基本不等式,這里就需要學生在挑選和使用定理的過程中對兩種形態基本不等式作一個比較,比如若使用三元基本不等式,則一般常涉及到三次式,或者三次方根,這兩者本題都不涉及,這可以作為判斷依據,少走彎路……