重本求質(zhì)“圓”形畢露——以圓為背景巧解平面向量最值問題

浙江省永嘉縣上塘中學(xué)

向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁[1],是高中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)中的一個交匯點,而高考命題往往在交匯處設(shè)計試題.筆者通過對浙江高考試題和近年的溫州市高三模擬考試題的研究,發(fā)現(xiàn)一類向量與圓結(jié)合的問題,這類問題以向量表征圓,通過數(shù)形結(jié)合巧解平面向量最值問題.這類問題比較綜合且靈活,很多同學(xué)處理起來不得要領(lǐng),下面結(jié)合具體問題談?wù)勍诰蛳蛄恐械膱A的常見方式和具體應(yīng)用.

一、向量表征“圓”形畢露

1.圓的向量表征式

(3) 兩者聯(lián)系實際上,由平面向量的極化恒等式結(jié)合向量加減法的幾何意義可得

(其中O為AB的中點),A,B點固定時得這說明模長式和數(shù)量積式殊途同歸.

2.追根溯源

模長式圓比較好理解,即符合圓的定義——平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓;下面從圓的方程的角度給出數(shù)量積式圓的證明:

以AB點的連線方向為x軸,線段AB的中點為坐標原點建立直角坐標系,設(shè)A(-m,0),B(m,0),P(x,y),則整理得x2+y2=m2+l,故當(dāng)時,點P的軌跡即以AB的中點為圓心,以為半徑的圓.

3.提升推廣

二、考題鏈接,重本求質(zhì)

例1(2018高考浙江卷第9題) 已知a,b是平面向量,e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( )

思路分析關(guān)鍵在于對b2-4e·b+3=0的處理,為保持結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性,可將3 看成3e2,對于b2-4e·b+3e2=0可配方或因式分解,結(jié)合圓的向量表征方式,解法便呼之欲出.

圖1

圖2

解法一因為b2-4e · b+3=0,所以配方得所以設(shè)由可……