2019年全國ⅠⅠ卷第22題探析*——兼談極坐標與參數方程的教學

福建省龍海第一中學新校區

一、題目呈現

題目(2019年全國ⅠⅠ卷第22題) 在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(θ0＞0) 在曲線C:ρ=4 sinθ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.

(2) 當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.

二、試題分析

本題是選修4-4 坐標系與參數方程的內容.試題構思精巧,重點突出,切入點多.主要考查如何求直線,動點的極坐標方程,檢測考生對極坐標是否有本質的了解,是否掌握直角坐標與極坐標的互化,是否掌握求動點的軌跡方程,是否具備思維的嚴謹性(軌跡方程中變量有一定的限制).試題涉及到兩個動點,一個是主動點M,一個是從動點P,將動點問題巧妙地蘊含于極坐標背景當中,增加了試題的難度.考生要能夠順利解決問題必須具有良好的基礎知識以及邏輯推理能力,數學運算能力.

三、試題解析

3.1 對第一步的解析如何求出直線l的極坐標方程?

方法1(先求出直角坐標方程,再轉化為極坐標方程) 由于所以因為直線l與OM垂直,所以又直線l過點(4,0),所以直線l方程為整理得所以l的極坐標方程為或者

方法2(直接求出極坐標方程) 由已知有∠POA=設直線l上的一點Q(ρ,θ),(ρ ＞0,θ ∈[0,2π]).連接OQ,則三角形OPQ為直角三角形.有以下三種情況:

圖1

圖2

圖3

比較上述兩種解法,第一種方法是先求出直線l的直角坐標方程,再借助關系式x=ρcosθ,y=ρsinθ求出極坐標方程.這個思路是絕大多數學生容易想到的,也是絕大多數學生優先采用的方法.然而相比較于第二種方法直接設出點直線l上的一點Q(ρ,θ).第一種方法顯得笨拙……