數論視角下的2019年全國Ⅰ卷參數方程選做題

廣東省茂名市第一中學

一、試題呈現和考情分析

試題呈現(2019年高考全國Ⅰ卷文理第22題) 在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為

以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1) 求C和l的直角坐標方程;

(2) 求C上的點到l距離的最小值.

考情分析2018年廣東文科考生的參數方程選做題平均分是3.87,而2019年只有2.58 分;2018年廣東理科考生的參數方程選做題平均分是5.23,而2019年只有3.53 分的.2019年的第22題的第一問,考生很不適應.雖然考生都知道要消參,可是里面的參數t太多了,他們無從下手.題目不能用常見的消參數方法,涉及到難度很大的消參技巧.考生第一問做不出,而第二問又是建立在第一問基礎上的,盡管第二問難度不大,考生也是無題可做.所以第一問就導致了整道題目得分率不高.

二、數論知識背景和題目解答

不定方程x2+y2=z2叫做商高方程,也叫畢達哥拉斯方程.由于其形式漂亮,歷史上有不少著名科學家(如畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德和我國清朝的羅士琳) 都對它進行過研究.《九章算術》第九章“勾股”也對勾股定理及其應用進行了講解.

筆者最喜歡羅士琳的這個結果,很多初等數論教材也編入了這個結果,比如潘承洞和潘承彪編著的《初等數論》.當n=1時,它是柏拉圖的結果即(m2-1)2+(2m)2=(m2+1)2.等式兩邊同時除以m2+1,得也即

三、題目推廣

推廣1將中等式右邊的4 推廣到任意非零實數a,也即參數方程為將其配方成的形式所以化為普通方程就是1.化簡得這也……