對一道質(zhì)量檢測試題的探究

福建省寧德市高級中學(xué)

題目(2018年合肥高三第二次質(zhì)檢第20題) 已知點(diǎn)A(1,0)和動點(diǎn)B,以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓

(1) 求動點(diǎn)B的軌跡方程;

(2) 已知點(diǎn)P(2,0),Q(2,-1),經(jīng)過點(diǎn)Q的直線l與動點(diǎn)B的軌跡交于M,N兩點(diǎn),求證:直線PM,PN的斜率之和為定值.

本題的答案是:(1) 動點(diǎn)B的軌跡方程為:(2) 直線PM,PN的斜率之和為定值3.

對于本題(2),至目前筆者尚未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)的探究文章.教學(xué)中,如果就題論題,解完即止,那就失去了一個很好的發(fā)現(xiàn)、探究的機(jī)會.我們可以引導(dǎo)學(xué)生對之進(jìn)行分析,適當(dāng)挖掘,提出有價值的問題進(jìn)行探究,導(dǎo)出有意義的結(jié)論,從中培養(yǎng)和提升學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.特殊引路猜測結(jié)論

不難發(fā)現(xiàn),本題(2)的定值3 取決于定點(diǎn)P(2,0)和Q(2,-1),其中點(diǎn)P(2,0) 為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)Q(2,-1) 為過橢圓的右頂點(diǎn)P(2,0)且垂直于x軸的直線x=2 上的一個定點(diǎn).本題(2)的結(jié)論表明:經(jīng)過定點(diǎn)Q(2,-1)的直線l與橢圓M,N兩點(diǎn),P為橢圓的右頂點(diǎn),則直線PM,PN的斜率之和為定值3.的右頂點(diǎn)P與過定點(diǎn)Q(2,-1)的直線l的內(nèi)在聯(lián)系,若把過橢圓右頂點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=2 上的特殊定點(diǎn)Q(2,-1) 換為直線x=2 上的任一個定點(diǎn)Q(2,n)(0),那么,直線PM,PN的斜率之和是否仍為某個定值?

探究1先以定點(diǎn)Q(2,1) 試驗(yàn).設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+1,代入得3x2+4(kx-2k+1)2-12=0,整理得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-12=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).據(jù)韋達(dá)定理,得

又設(shè)直線PM,PN的斜率分別為k1,k2,則

即直線PM,PN的斜率之和為定值-3.由于定值由此猜測:對于直線x=2 上的任一個定點(diǎn)Q(2,n)(0),直線PM,PN的斜率之和為定值

經(jīng)探究,此猜測成立.其證明如下:

證明當(dāng)直線l垂直于x軸時,直線l的方程為x=2.顯然,直線l與橢圓相切,不合題意,故直線……