由一道模考題引發的思考與探究*

廣東省江門市新會陳經綸中學

一道高三模擬試題,因為學生的疑問,引發了筆者的釋疑、思考、探究和感悟,并因此體會到了作為教師“教學無止境”和“教學相長”的快樂.

一、問題的提出

在2019年江門市第一次模擬考試結束后,筆者在課上評講了下面這道試題:

例1(2019年江門市第一次模擬考試第10題) 在直角坐標系xOy中,雙曲線1(a,b ＞0)與拋物線y2=2bx相交于A,B兩點,若ΔOAB是等邊三角形,則雙曲線的離心率e=( )

圖1

教師給出的解法如圖1,由題意設ΔOAB的邊長為2m,則將A坐標分別代入兩個曲線方程,得所以從而故選D.

課后,我班科代表眉頭緊鎖的來到辦公室,問:“老師,您剛才講的第10題,我有不同的想法,但解不出來,不知道怎么回事?”

學生的解法設A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設yA ＞0,yB ＜0.聯立方程

消y得:

兩種方法的答案不一致.我問:“你確定計算無誤嗎?”學生:“我和幾個同學都算過好幾遍了,應該沒有錯!”我檢查了一遍學生的解法,確認計算沒有問題,而且整個過程也合理.怎么回事呢?于是,我回憶了我做該題的思考過程: 按照經驗,聯立兩個二次曲線的方程通常計算量大,所以盡量回避,利用等邊三角形的性質巧妙的設出點A坐標,代入兩個方程得出a,b關系,進而得到e.事實上,因為有直線與二次曲線相關問題的解題經驗,科代表的想法才是更自然的想法,應該也代表了不少同學的真實想法.是這種方法行不通,還是中間環節出了問題?

二、問題的初步解決

為了解答學生的疑問,我們需要考慮如下兩個問題:

問題1方程(3)一……