解含絕對值問題的四個(gè)角度

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)

處理帶有絕對值的不等式問題一般思路是利用絕對值的定義去絕對值,再通過分類討論求得結(jié)果.本文在此基礎(chǔ)上再介紹以下幾種方法:利用絕對值不等式、最大值函數(shù)以及距離公式解決一類含絕對值的最值問題,供讀者參考.

角度一通過絕對值定義去絕對值.

角度二絕對值不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.注意到不等式的中間,可以通過選擇“±”進(jìn)行放縮使得不等式的一邊出現(xiàn)定值.

角度三最大值函數(shù)最小值函數(shù)

角度四根據(jù)點(diǎn)P(x0,y0) 到直線l:Ax+By+C=0的距離公式:所以可以通過幾何關(guān)系求解含絕對值的問題[1].

一、利用絕對值定義

例1已知函數(shù)設(shè)a ∈R,若關(guān)于x的不等式在R 上恒成立,則a的取值范圍是____.

解析根據(jù)題意,對任意x ∈R 有:設(shè)原命題等價(jià)于g(x)max≤a ≤h(x)min.又由于

可得g(x)max=故答案為A.

總結(jié):該解法的過程可總結(jié)為通過定義去絕對值,再分離出所求參數(shù)a.將原問題中的恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大最小值問題.

二、利用絕對值不等式

例2設(shè)f(x) =|log2x+ax+b|(a ＞0) 在區(qū)間[t,t+2](t ＞0) 上的最大值為Mt(a,b),若{b|Mt(a,b)≥1+a}=R,求實(shí)數(shù)t的最大值.

解析設(shè)函數(shù)g(x) =log2x+ax+b,顯然g(x) 在[t,t+2]上遞增.令Mt(a,b)=max{f(t),f(t+2)},其中f(t) =可知對任意b ∈R 都有Mt(a,b)≥1+a恒成立.所以min{Mt(a,b)} ≥1+a.又由于

兩式相加可得:

總結(jié)本題通過絕對值不等式的放縮,巧妙的消去了參數(shù)a,b,最終只留下關(guān)于t的不等式.

例3(2015年佛山市數(shù)學(xué)教師解題大賽第11題) 已知f(x)=2x2+bx+c(b,c ∈R)的定義域?yàn)閇0,2],記|f(x)|的最大值是M,則M的最小值為____

A.1 B.2 C.3 D.4

解析據(jù)題意即有根據(jù)絕對值不等式得到兩者組合可得:M的最小值為1,故選A.

總結(jié)上面的解法利用了三次絕對值不等式,前兩次消掉未知量……