二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)在初中教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

陳悅

[摘? 要] 文章結(jié)合2019年福建中考數(shù)學(xué)的第10題、第25題進(jìn)行分析，分享在初中數(shù)學(xué)中教學(xué)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手作圖能力;密切聯(lián)系其他數(shù)學(xué)知識(shí);注重滲透數(shù)學(xué)思想;合理利用信息技術(shù).

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì);初中教學(xué);數(shù)學(xué)思想

問(wèn)題背景

從2017年福建省開(kāi)始全省統(tǒng)一中考命題以后，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)就是考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，而且往往會(huì)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求比較高. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到，會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖像，通過(guò)圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì). 初中階段學(xué)生所習(xí)得的二次函數(shù)的概念，將為高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)做鋪墊. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提到，用函數(shù)觀點(diǎn)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法. 借助二次函數(shù)的圖像，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系. 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)，如果能夠讓學(xué)生感悟到這些知識(shí)與技能背后更為本質(zhì)的東西，將對(duì)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想產(chǎn)生積極的意義.

案例分析

例題1? （2019福建中考第10題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)A（m，n），B（0，y■），C（3-m，n），D（■，y■），E（2，y■）五點(diǎn)，則y■，y■，y■的大小關(guān)系是（? ? ?？搖）

A. y■

C. y■

評(píng)析? 本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及軸對(duì)稱的性質(zhì). 因?yàn)槎魏瘮?shù)的關(guān)系式中a是大于0的，所以函數(shù)的開(kāi)口方向向上. 但僅憑借這個(gè)條件還不能大致確定出函數(shù)的圖像，所以我們需要從題目給的五個(gè)坐標(biāo)入手. 本題要比較的是點(diǎn)B，D，E的縱坐標(biāo)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是已知的. 其中，A，C兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是用字母表示. 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)A，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是相同的，都等于n. 所以我們可以得出一個(gè)重要的結(jié)論，即這兩個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像中是關(guān)于對(duì)稱軸成軸對(duì)稱的. 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離相等，即可得到：x=■=■，從而得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=■，此時(shí)就可以畫(huà)出二次函數(shù)的大致圖像了. 利用幾何畫(huà)板去模擬出這個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示. 把B，D，E三點(diǎn)的橫坐標(biāo)輸入，就可以把這三個(gè)點(diǎn)直接在函數(shù)圖像中表示出來(lái)了. 通過(guò)觀察圖像，可以很容易發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于E點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出：y2

觀察這個(gè)題目，我們可以發(fā)現(xiàn)其中所滲透的數(shù)學(xué)思想是很豐富的. 處理這個(gè)題目的關(guān)鍵是確定出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，并借助二次函數(shù)的圖像來(lái)比較B，D，E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），可以借助二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向，當(dāng)a>0？圳開(kāi)口向上;當(dāng)a<0？圳開(kāi)口向下. 因?yàn)閍>0，所以開(kāi)口向上，體現(xiàn)了分類的數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在教學(xué)中應(yīng)該盡力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生了解和體會(huì)數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題2? （2019福建中考第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c（b<0）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）若拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），求a，c滿足的關(guān)系式;

（2）設(shè)A為拋物線上的一定點(diǎn)，直線l：y=kx+1-k與拋物線交于點(diǎn)B，C，直線BD垂直于直線y=-1，垂足為點(diǎn)D.當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.

①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式;

②證明：對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)k，都有A，D，C三點(diǎn)共線.

評(píng)析? 本題是一道代數(shù)與幾何綜合的問(wèn)題，主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，綜合考查學(xué)生對(duì)初中階段函數(shù)方面的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平. 要求學(xué)生對(duì)二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像有比較深刻的領(lǐng)悟，要能夠把相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)，并利用函數(shù)的圖像對(duì)其中所包含的圖形元素進(jìn)行分析.

本題的第（1）問(wèn)，已知拋物線與x軸的公共點(diǎn)只有一個(gè)，交點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），可以推出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 可以代入二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，得到y(tǒng)=a（x-2）2=ax2-4ax+4a，所以c=4a.

本題第（2）問(wèn)的①小問(wèn)要求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式. 已知直線l的解析式y(tǒng)=kx+1-k可以變形為y=k（x-1）+1，會(huì)過(guò)定點(diǎn)（1，1）. 當(dāng)k=0時(shí)，直線l變?yōu)閥=1，平行于x軸，與y軸的交點(diǎn)為（0，1）. 因?yàn)椋?，1）也是拋物線上的一點(diǎn)，所以c=1. 又因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，且A，B，C三點(diǎn)都在拋物線上，由于二次函數(shù)的圖像具有對(duì)稱性，所以點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn). 因?yàn)閏=1，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0）. 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）2，把（0，1）代入解析式可得a=1，拋物線的解析式：y=x2-2x+1.

本題第（2）問(wèn)的②小問(wèn)要求證明A，D，C三點(diǎn)共線，這個(gè)問(wèn)題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì). 這個(gè)題目的難度較大，首先本題沒(méi)有配圖，需要學(xué)生自己動(dòng)手作出函數(shù)的圖像;其次對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力要求比較高，要能夠把相關(guān)的數(shù)學(xué)元素經(jīng)過(guò)理解、表征之后呈現(xiàn)出來(lái);最后，要能夠借助函數(shù)的圖像，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決. 因?yàn)橹本€l與拋物線相交于B，C兩點(diǎn)，可以聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)B橫坐標(biāo)：x■=■（2+k-■），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)：x■=■（2+k+■）. 因?yàn)辄c(diǎn)C在一次函數(shù)的圖像上，代入后可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為1+■，1+■，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像之后，如圖2所示，可以觀察得到，直線BD垂直于直線y=-1，點(diǎn)B和D的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-1，所以D1+■，-1. 已求得A（1，0），可以得到k■=■=■，同理可得k■=■，所以k■=k■，點(diǎn)A，C，D三點(diǎn)共線.

在初中教學(xué)的具體實(shí)踐

1. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手作圖能力

在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中，教師應(yīng)該充分給學(xué)生動(dòng)手作圖的時(shí)間，讓學(xué)生掌握描點(diǎn)法的基本步驟. 教師應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)具有實(shí)際背景的問(wèn)題，讓學(xué)生在理解兩個(gè)變量的基礎(chǔ)之上，通過(guò)列表、計(jì)算、描點(diǎn)等過(guò)程，畫(huà)出二次函數(shù)的大致圖像. 動(dòng)手作圖是一種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重要方法. 學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，不僅僅能夠促進(jìn)其對(duì)二次函數(shù)的掌握，還可以幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中密切聯(lián)系其他數(shù)學(xué)知識(shí)

在初中階段，對(duì)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)是基于笛卡兒坐標(biāo)系進(jìn)行的，其實(shí)質(zhì)就是把一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題. 在問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，往往需要借助到其他的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)它并不是單一的數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，可能涉及多種數(shù)學(xué)方法，因此對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求比較高. 另一方面，在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)中就需要用到其他的數(shù)學(xué)知識(shí). 例如，在研究二次函數(shù)軸對(duì)稱性的時(shí)候，就需要用到軸對(duì)稱的性質(zhì).

3. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和文化在更高層次上的抽象與概括. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中，我們也可以充分挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，合作交流，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)思想. 特別是二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)所蘊(yùn)含的函數(shù)思想，可以說(shuō)是為高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)做了很重要的鋪墊. 依據(jù)解析式可以描繪出圖像，從圖像特征又可以讀出函數(shù)的形態(tài)結(jié)構(gòu). 解決問(wèn)題時(shí)，更重要的是利用函數(shù)的形態(tài)結(jié)構(gòu)，量化地處理問(wèn)題. 因此，函數(shù)形態(tài)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)在初中階段可以慢慢滲透，為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

4. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中合理運(yùn)用信息技術(shù)

在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中，合理地利用信息技術(shù)進(jìn)行輔助教學(xué)，可以幫助學(xué)生直觀地獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，也有助于提高學(xué)生的課堂效率. 比如，在研究二次函數(shù)的增減性時(shí)，可以結(jié)合幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)模擬兩個(gè)變量之間的變化情況，這樣將幫助學(xué)生更加直觀地感受二次函數(shù)的增減性. 又比如，在探究二次項(xiàng)系數(shù)a與二次函數(shù)圖像的開(kāi)口大小時(shí)，如果能夠結(jié)合幾何畫(huà)板，學(xué)生就能更有效地、更快速地去理解它們之間的關(guān)系，這也有助于提高課堂效率.