思維暴露 培育學生解題素養的一種共享方式

沈利梅

摘?要：數學教學的根本目的在于培養學生的思維能力。教學時，教師要舍得留給學生思考的時間，要知道學生“怎么想”。教師要鼓勵學生獨立思考，形成自己對題目的認識和思維方向，不要急于把正確的思路和方法直接告知學生。

關鍵詞：暴露;反思;共享

中圖分類號：G633.6??????????文獻標識碼：A ????文章編號：1992-7711（2020）01-097-1

一、問題的提出

蘇州市2018～2019學年第一學期高二期末試卷第18題（以下簡稱“a題”）：光對物體的照度與光的強度成正比，比例系數為k1，與光源距離的平方成反比，比例系數為k2（k1，k2均為正常數）。如圖，強度分別為8，1的兩個光源A，B之間的距離為10，物體P在連結兩光源的線段AB上（不含A，B）。若物體P到光源A的距離為x。

（1）試將物體P受到A，B兩光源的總照度y表示為x的函數，并指明其定義域;

（2）當物體P在線段AB上何處時，可使物體P受到A，B兩光源的總照度最小？

本題是由蘇教版選修22第36頁例4改編（以下簡稱“b題”）：強度分別為a，b的兩個光源A，B間的距離為d，試問：在連結兩光源的線段AB上，何處照度最小？試就a=8，b=1，d=3時回答上述問題。（照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）

期末復習時還非常幸運地做到這樣一題（以下簡稱“c題”）：煙囪向其周圍地區散落煙塵造成環境污染，據環保部門測定，地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，某鄉境內有兩個煙囪A，B相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A的8倍，該鄉要在兩座煙囪連線上一點C處建一小學，請確定該小學的位置，使得煙塵濃度最低。

第18題（滿分16分，第1問6分，第2問10分）具體得分卻讓所有的老師大跌眼鏡：

從表格我們不難發現，期末詳細講評c題的班級（5，11，15三個班）還是有效果的，分數相對較高，但是也未能達到教師的期望。特別是11班，教師上課詳細、認真地講評了c題，還有18位同學（全班49人）得零分。這不得不引起我們的思考：我們教師每天講評的知識有多少讓學生接受了？數學課堂應該如何達到師生共贏？

二、原因分析——以a，b，c三題為例

從上表我們可以看到a題第1問學生的得分比較低。全年級參加考試同學692人，其中372人第1問零分（整題也是零分），304人滿分（6分）。我們來看一下a題與b、c兩題在第1問上的區別：a題中“光對物體的照度與光的強度成正比，比例系數為k1，與光源距離的平方成反比，比例系數為k2（k1，k2均為正常數）”，它對正比例系數和反比例系數都明確規定，而b題“照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比”與c題“與地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比”都沒有明確指明正、反比例的系數。而不論課本上還是復習卷提供的答案中，都采用省略的寫法“其中k為比例系數”，把兩個系數合二為一。教師在講評時（不論是一次講評還是兩次講評）都采用了這樣的設系數方法，但是實際表明學生對初中就學習過的正比例和反比例的掌握還是不夠的，教師對學生的學情了解也是不夠的，這才導致學生在考試時對k1，k2的位置擺放不正確，（很多學生把k2放在分母上了）。

第2問的得分也只有1.8分（滿分10分）。如果只計算第1問304位滿分的同學，第2問的得分也只有4.05分。第2問考察運用導數求函數的最值問題，這是導數知識的重點，平時教學時肯定非常重視的，學生也是練習較多的，那么問題又出現在哪里呢？第1問得到的函數是y=k1k2[8x2+1（10-x）2]，對它的求導，涉及了復合函數。因為文科班和藝術班的同學不用掌握復合函數相關知識（江蘇高考要求），所以理科班在復合函數相關知識教學上比較粗糙。不少理科同學把導函數中間的加號寫成了減號，這正是復合函數的導數知識出現了問題。文科生和藝術生則可以把后面部分看成是1100-2x+x2，再用商的求導方法進行下面的步驟。導函數中的第二個等號是化簡，是對立方差形式的整理，有些復雜。但是導致304位第1問滿分的同學中有116位同學第2問零分的主要責任人還是我們教師。多數教師在處理b題時沒有事先讓學生“摸石子過河”，沒能及時發現學生在計算上的薄弱之處。

三、反思

《普通高中數學課程標準》提出“在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣;要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學。”高中數學課堂需要我們以學生為主體，以發展學生的思維、提高學生的能力為目標。如何改進現有的較為低效的習題課教學方法呢？

1.暴露思維過程：共享“怎么錯”。

習題課教學不能總是停留在欣賞正確的講授與解讀、滿足于題型套路的歸納與總結、沉醉于技巧方法的展示與炫耀等。這樣的課堂看似完美、到位，但是實際上學生在解題過程中暴露的思維障礙、易錯點等沒有得到有效的改善，下次遇到類似知識點的考查時依然不能突破。在教學中可以充分暴露學生的不恰當思維，把學生可能出現的錯誤、不當、復雜的思維方法加以分析、研究、優化，和學生共享錯誤是為了避免錯誤方法再次發生。

2.暴露思維誤區：共享“怎么做”。

學生對某道題（或者某類題）可以有自己獨特的思維，但是好的解題思路與方法的推廣也是必不可缺的。我們要重視對學生思維的修正，需要指導學生用新知識、新方法武裝自己，用更優秀的解法解決下次的問題。和學生共享“怎么做”，是對學生思維的整合和優化。

（作者單位：吳江中學，江蘇 蘇州215000）