如何做到數學課后高效復習

查寶才

數學家華羅庚先生在一次報告中提出，學習尤其是數學的學習要分兩個階段進行，首先是將書由“薄”逐漸讀到“厚”的一個階段過程，這一個階段過程是由一開始的知之不多，慢慢積累到一定程度，變得知之較多，從一開始的懵懂到后來的了解，知識的逐漸累積，認識的深度也在不斷增加。當然，只有這一階段過程還不夠，還必須有另一個階段過程，那就是再將書從“厚”慢慢讀到“薄”的消化、理解、吸收及應用的過程。如何理解將書從“厚”又讀回到“薄”呢？那就是在原有認識的基礎上建立起知識間的縱橫交錯關系，將知識不斷進行體系上的歸類，做到條理分明、網絡收納，從而便于存儲，記憶容易提取，更方便于使用，而課后的復習就是將書“厚”讀到“薄”的那么一個重要途徑。如何做到這點，筆者也進行了一些思考。

要深入思考，就要找出可以引導我們進行深入的思考問題。一節課聽下來大致會有如下幾點需要及時思考的方面：一是在聽課時沒有完全弄清問題有哪些;二是在聽課時沒有弄清楚的知識點有沒有，同時聽課時聯想的問題，但在老師講課時來不及思維問題有哪些;三是通過自身的研究發現而在復習中又浮現在腦海的問題;四是教師布置的作業題目或課后思考題。針對第三類思考的問題，需要要靠我們自身反復不斷的努力來呈現。不少人苦于不提問題，致使發現無法深入地進行思考。到頭來，或使課后的發現變成了流于形式，或用作業取代課后的發現。如若一旦養成這種不好的學習習慣，對我們學習效率的提高就會產生嚴重的影響。

一、從回憶對照中發現問題

學生上課聽課，好比是在老師的牽引下蹣跚學步，稍不留神忽略掉教材里的一些細節和重點，沒給自己留意，多問幾個“為什么”，這么一堂課看起來是什么都聽懂了，而運用上去的話卻又是錯誤百出。因此，為了及時了解自己的疑問，課后復習不妨先合上書本，憑自身的記憶，把當天所學的一節課的想法先回憶梳理一遍，把課本里的公式、定理的推理過程和來龍去脈在腦海里像放電影一樣回憶一遍，在紙上默寫一遍，然后與書本或筆記進行對照，看一下哪里對了，什么地方對不上，哪里錯了，哪些步驟漏寫或多寫，甚至寫錯了。寫錯的原因很多，究竟錯哪里要深思，如果是遺忘的，可能產生遺忘的點在哪里，自己也可以做個標識，以便下次再復述時不再犯錯。經常采用這種邊回憶邊對照的方法，同學們就會不斷地發現許多問題，然后再針對自己出現的這些問題進行推敲思考，則會加深對教材的理解和認識，從而達到增強記憶的最佳效果。

二、從邏輯結構上提出問題

高中階段所學數學知識，就其內容的具體形式來看，顯得錯綜復雜知識點較多，但從應用中的數學思想呈現形式而言，卻有著一定的共性規則，其內部結構的知識都是按照一定的邏輯關系進行相連的。所以，數學課后的反復復習，倘若從邏輯結構上提出具有獨到見解的問題，在一定程度上能夠使我們沉下心來深入思考，最終會獲得系統性的和深刻性的理解。譬如我們在復習數學的基本概念和常用定理及一般定義中，常常會明確地提出：（1）是不是一定需要引入這個概念，這個概念想闡述什么觀念？哪些實際應用問題需要用到這個概念，是如何從中提煉抽象而來的？（2）給出定義時需要哪些數學術語來描述和支撐？表述的夠不夠清晰，條件是不是可以再壓縮，還是再補充，讀起來是不是簡潔明了？

又比如，在課后復習常用定理和記憶公式時，可以問問自己：這個定理（或公式）的大前提是什么，小前提又是什么，得到的結論是怎樣的？應用中需要做怎樣的描述？條件能不能簡寫或略寫？結論表述時使用集合語言，還是邏輯語言？

三、從不同側面設想問題

學習的過程中，若考慮問題能夠兼顧到不同的維度，將會幫助我們從不同角度來深入理解教材所呈現的知識點，能夠培養鍛煉我們思維的靈動性和創造力。譬如，在數學課后復習的過程中，在理解一個概念時，我們可以從正反兩方面提出一些問題：用概念的優勢是什么，倘若不引用這樣的概念，對提出的設想、計算，以及證明會不會產生一定的影響？又如，在復習數學課本中提及的定理、公式或重要的例題時，是否可以從正面來考慮其具體闡述的情況，嘗試著提出：這個問題的解答思路是不是獨特的，能不能不用這個思路而改用其他思路？條件能不能進一步減弱，結論會不會得到加強？有沒有一種特殊的呈現形式呢？假如實際問題超出了命題本身所適用的范圍，是否還能應用，不能用的原因是什么？假如運用了又會衍生出哪些不可預測到的錯誤呢？經常這樣帶著問題來做課后的復習工作，對于深刻理解，準確把握數學定理、公式，靈活地應用數學思想解決問題是很有裨益的。

復習是學習數學的一個不可或缺的環節，復習不僅體現在對定義、定理、公式、結論或解題方法、思想應用的重現上，而且還體現在對遺忘的及時“止損”和增強記憶的及時“收益”上;同時，還可以幫助我們系統復習所學的知識，對所學知識進行深入的橫向和縱向的理解，用更全面的體系來包洛闡明所學的知識，使之有條理、系統地進行，達到了溫故而知新的目標。