線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用初步探討

黃靜靜 劉文琰

摘要：數(shù)學是研究數(shù)量與空間形式的科學，古典數(shù)學分為代數(shù)、幾何和分析三大領(lǐng)域。其中線性代數(shù)這一代數(shù)學分支既包含代數(shù)學的內(nèi)容，又和幾何學密切相關(guān)，在理工農(nóng)醫(yī)經(jīng)濟等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。文章結(jié)合應(yīng)用實例，著重探討了線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);經(jīng)濟領(lǐng)域;應(yīng)用

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2020）11-0268-04

一、研究目的與意義

線性代數(shù)，英文名為Linear Algebra，是數(shù)學中的一個重要分支。代數(shù)的英文名Algebra，源自阿拉伯語，它的本意為“reunion of broken parts”，即“把打破的重聚”。因此，把許多看似不相關(guān)的事物聯(lián)系到一起并對其進行高度抽象，這是代數(shù)的特點與用途。抽象的目的是通過代數(shù)把某些錯綜復雜的問題轉(zhuǎn)化為人們熟知的數(shù)學模型，從而能夠更加快速簡便地解決問題。線性代數(shù)的研究內(nèi)容包括矩陣、行列式、線性方程組、向量、線性空間和線性變換等。近年來，隨著科學技術(shù)尤其是計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域得到了極大的拓展。以前只是在傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域中應(yīng)用，后來隨著時代的發(fā)展，迅速拓展到非物理領(lǐng)域（生物、經(jīng)濟、醫(yī)學、社會學等領(lǐng)域）。許多經(jīng)濟學家嘗試將數(shù)學和經(jīng)濟學緊密地聯(lián)系在一起，并通過對大量數(shù)學工具的運用，使得經(jīng)濟學領(lǐng)域的理論研究工作取得了重大的進展。在上述數(shù)學工具中，線性代數(shù)出現(xiàn)的頻率很高。本文致力于尋找線性代數(shù)與經(jīng)濟問題之間的密切關(guān)系，著重探討線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。

為了使讀者更加深入地了解線性代數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛性以及線性代數(shù)對經(jīng)濟領(lǐng)域相關(guān)研究的重要推動作用，本文除了總結(jié)陳述前人的研究外，還列舉并分析了幾個實踐中的案例，以期能夠通過本文的研究促進線性代數(shù)理論在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用，促進社會經(jīng)濟與科技全面發(fā)展。

二、前人的研究綜述

王珍萍（2017）曾簡要闡述線性代數(shù)理論的重要性，并且說明了在其他的科學領(lǐng)域中線性方程組解法有十分重要的應(yīng)用。在當前社會主義市場經(jīng)濟的環(huán)境下，經(jīng)濟實務(wù)體系中的重要組成部分是對經(jīng)濟領(lǐng)域的投入產(chǎn)出問題進行分析。這種類型的經(jīng)濟問題的解決要歸功于線性代數(shù)的應(yīng)用，它的優(yōu)勢是其他方法所沒有的。

張瑩華（2011）曾經(jīng)提出，線性代數(shù)就是對向量、線性方程組、矩陣和線性變換等概念的研究。線性代數(shù)的相關(guān)概念和思想方法能用幾何具體地表示出來，并且在抽象代數(shù)和泛函分析中有著廣泛的應(yīng)用。通過借助于線性代數(shù)等多種數(shù)學理論和方法，經(jīng)濟理論的研究工作取得了很大的進展，顯著加深了人們對于經(jīng)濟規(guī)律的理解與把握。

桑卓（2006）曾提出，數(shù)學是一切科學的基礎(chǔ)。發(fā)展經(jīng)濟需要研究經(jīng)濟理論，掌握經(jīng)濟規(guī)律，而在研究這些的過程中大多數(shù)都需要應(yīng)用數(shù)學。自從1969年設(shè)立諾貝爾經(jīng)濟學獎以來，諾貝爾經(jīng)濟學獎得主的成果大多數(shù)都是應(yīng)用數(shù)學的理論、思想和方法來研究經(jīng)濟問題所得的結(jié)晶。這些年來，人們已經(jīng)通過應(yīng)用數(shù)學理論方法使經(jīng)濟領(lǐng)域中的很多重要問題得到了良好的解決。

鄭燁（2009）提出了線性代數(shù)中每一個理論在各個領(lǐng)域中的不同運用，如矩陣、線性變換、二次型正定判定等在不同領(lǐng)域的運用。

三、實例分析

（一）矩陣運算的應(yīng)用案例

矩陣的運算中，人們比較容易接受和掌握矩陣的加法、減法以及數(shù)乘運算等運算方法。而矩陣的乘法的算法相對來說非常特別，不易理解，但大量的矩陣理論及其應(yīng)用都是建立在矩陣的乘法之上的。矩陣的乘法廣泛應(yīng)用于各個方面，矩陣的乘法中不僅只有兩個矩陣相乘，還有多個矩陣相乘的情況，這里就多矩陣相乘在經(jīng)濟中的應(yīng)用舉例。

案例一 支付資金流動問題

為了保證金融機構(gòu)的現(xiàn)金能夠足額支付，金融機構(gòu)在A市和B市的公司分別設(shè)立了基金，平時可以使用這筆基金，但是每個周末清算時必須保持總金額不變。經(jīng)過了長時間的現(xiàn)金流動，發(fā)現(xiàn)每周公司的大部分支付基金在流通過程中仍然留在本公司，然而每周A市公司有大約12%的支付資金最終流向B市公司，B市公司則有大約15%的支付資金最終流向A市公司。最初，A市公司的基金為106萬元，B市公司的基金有212萬元。按照這種規(guī)律持續(xù)下去，兩家公司的支付基金數(shù)額變化趨勢是怎樣的？若要求每個公司的支付基金高于130萬，則需不需要在必要時調(diào)動資金？

案例二 模糊評價矩陣在分析經(jīng)濟影響權(quán)重中的應(yīng)用

評價方案或者成果時，其中需要考慮的因素非常多，并且某些描述難以明確地表達出來。在這個時候，就可以采用模糊評價方法來對事物從定性化的評價轉(zhuǎn)為全面且定量化的評價。因為模糊綜合評價可以有效地解決許多難以量化的問題，所以它非常適合解決各種不確定性問題。模糊矩陣在模糊綜合評價中用于表達各因素的不同的隸屬度，最終利用該矩陣進行運算得出各因素的重要程度排序。

假設(shè)某家銀行為了計劃下一個年度的貸款投資重點，對甲、乙、丙、丁這四家企業(yè)的財務(wù)信用進行了貸款風險的投資評估。評判企業(yè)財務(wù)信用的重要目標因素為企業(yè)的人才儲備、經(jīng)營能力、盈利能力和償債能力，對應(yīng)的數(shù)值如表所示。通過模糊綜合評價決策出重點投資的四家企業(yè)排名。

（二）行列式在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用

行列式是指由一些數(shù)值排列形成的方陣經(jīng)過計算得出的一個數(shù)。

線性方程組可用于許多真實的案例中，例如互付工資問題。工資的相互支付問題是指在提供勞動力的過程中因為多方合作所產(chǎn)生的問題。例如，在農(nóng)忙時，各家各戶的農(nóng)民組成了一個合作小組，大家一起完成每戶的耕作、種田和收割等工作。又比如，木工、電工、油漆工等組成了一個工作小組，共同完成各個家庭的裝修工作。因為不同的工種所付出的體力勞動和腦力勞動是各不相同的，所以，我們有必要計算互付工資的標準去平衡各方的所得利益。

案例四 互付工資問題

一個互助組由A，B，C三個農(nóng)民組成，每個人一共在小組成員家中工作6天（在自己家干活的天數(shù)也包含其中），使得他們?nèi)齻€人家里的所有農(nóng)活恰好完成，其中A在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：2，2.5，1.5;B在A，B，C三人家中都干2天活，C在A，B，C三人家中工作的天數(shù)依次為：1.5，2，2.5。根據(jù)三個人的工作類型、速度與時間，他們認為他們?nèi)齻€人兩兩的支出與收入平衡，所以他們之間不用相互支付工資。然后，三個人在隔壁村莊分工合作干了2天活，而且每個人的工作類型和強度都不變，三人一共得到了500元工資。他們?nèi)绾魏侠淼胤峙溥@500元工資？

四、結(jié)論與討論

（一）本文的主要結(jié)論

近年來，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域擴展越來越迅速，經(jīng)濟活動的實踐離不開數(shù)學，線性代數(shù)在經(jīng)濟生活中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

經(jīng)濟學中應(yīng)用線性代數(shù)主要是運用其概念、性質(zhì)和思想等。文中的案例分為兩種，一種是直接應(yīng)用線性代數(shù)，另外一種是間接應(yīng)用線性代數(shù)。

1.經(jīng)濟學中直接應(yīng)用線性代數(shù)。直接運用線性代數(shù)來計算經(jīng)濟問題并可直接得出結(jié)果的，如用矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和矩陣的逆，行列式，線性方程組等概念或性質(zhì)直接用于經(jīng)濟問題中的數(shù)據(jù)，從而計算得到結(jié)果。這種應(yīng)用較為普遍，企業(yè)直接運用線性代數(shù)，能夠找到?jīng)Q策的理論依據(jù)，不會盲目投入與生產(chǎn)，造成企業(yè)的經(jīng)濟損失。

2.經(jīng)濟學中間接應(yīng)用線性代數(shù)。經(jīng)濟學中間接運用線性代數(shù)不是直接套用線性代數(shù)的公式，而是在經(jīng)濟學中解決問題時自然而然滲透著線性代數(shù)的思想，例如用模糊綜合評價、層次分析法分析經(jīng)濟問題以及線性規(guī)劃等。間接運用通常是在經(jīng)濟學中把較難的問題利用線性代數(shù)的思想巧妙地解決，使復雜的問題簡單化。因為大多數(shù)的經(jīng)濟問題都不可能只用線性代數(shù)的問題解決，通常還需要經(jīng)濟學的理論知識和社會經(jīng)驗等，不能夠直接運用線性代數(shù)，所以間接運用線性代數(shù)才是經(jīng)濟領(lǐng)域中應(yīng)用線性代數(shù)的主流。間接運用線性代數(shù)來描述較為復雜的經(jīng)濟現(xiàn)象，例如國民收入、消費、經(jīng)濟活動等，有利于人們正確把握社會經(jīng)濟活動的規(guī)律。

綜上，線性代數(shù)增強了經(jīng)濟學的可靠性、科學性、客觀性，使之得出的決策更加令人信服，為經(jīng)濟學家們更好地解釋和預(yù)測經(jīng)濟行為提供了一種更有利的手段，為人們的經(jīng)濟生活提供了正確的指導。

（二）本文優(yōu)點與不足之處

對于線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用，本文歸納出了矩陣、行列式、線性方程組等知識的應(yīng)用，并進行了一定的分析研究，加深了人們對線性代數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域應(yīng)用情況的了解。但是本文也存在著許多不足之處。最大的不足是缺乏大量的真實數(shù)據(jù)作為本文案例的支撐。由于企業(yè)對于數(shù)據(jù)的保密，無法從各種渠道得到適合且匹配的數(shù)據(jù)進行模型的搭建，就只運用了理論知識就某些簡化的經(jīng)濟系統(tǒng)進行舉例，具有一定的主觀性，有待創(chuàng)造條件深入研究，做進一步的完善。

參考文獻：

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