在對比中學習
——以蘇科版“2.4圓周角（3）”為例

高 房

（南京市建寧中學 江蘇南京 210015）

“同課異構”就是同一教學內容，由不同的教師根據學生實際、現有的教學條件和自身特點進行不同的教學設計和教學實施。目前，“同課異構”教研活動已在中小學的新課教學中得到廣泛開展。前不久，筆者就有幸參加了一次這樣的教研活動。筆者將從“2.4圓周角（3）”一課出發，探討初中數學幾何概念課的教學。

一、“同課異構”的內容呈現

（一）課題

2.4圓周角（3）。

（二）課前準備

1.教師A

（1）請畫出△ABC的外接圓⊙O?！鰽BC是⊙O的______三角形；⊙O是△ABC的______圓。

（2）過下列四邊形的四個頂點能畫一個圓嗎？如果能，請畫出，并思考過怎樣的四邊形四個頂點能畫一個圓，說說你的想法。

2.教師B

發放學案。

（三）探索過程

1.教師A

（1）圓的內接四邊形和四邊形的外接圓的定義。

（2）圓的內接四邊形的性質。

2.教師B

問題1 我們已經學過圓的內接三角形及三角形的外接圓。類似地，你能定義圓的內接四邊形及四邊形的外接圓嗎？

問題2 圓的內接四邊形有什么性質？問題3 如何證明？

（四）例題講解

1.教師A

例1 (1)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠CBE是它的一個外角，∠D=100°，則∠ABC=____，∠CBE=_____；

（2）圓內接四邊形ABCD中，已知∠A=60°，∠B與∠C的度數比是1∶3，則∠B=_____，∠C=_____，∠D＝_____。

例2 如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若點E在AD上，求∠E的度數。

2.教師B

例1 （1）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠CBE是它的一個外角．若∠D=100°，求∠CBE的度數。

（2）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點E在AB的延長線上，∠CBE與∠D相等嗎？為什么？

例2 如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若點E在AD上，求∠E的度數。

（五）反饋練習

1.教師A

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠AOC＝80°，求∠ABC的度數。

2.教師B

（1）圓內接四邊形ABCD中，若∠A=40°,∠B∶∠C=1∶2，則∠B=______，∠C=______，∠D=_____。

（2）如圖，A、B、C、D四點在⊙O上，四邊形ABCD的一外角∠DCE=70°,則∠BOD等于（ ）。

A.35° B.70° C.110° D.140°

(3)求證：圓的內接平行四邊形是矩形。

（六）小結與思考

1.教師A

這節課你有哪些收獲或困惑？

2.教師B

（1）這節課你有哪些收獲？

（2）思考：每個三角形都有一個外接圓，是不是所有的四邊形都有外接圓？什么樣的四邊形有外接圓？

二、“同課異構”的比較分析

《九年制義務教育初中數學課程標準》規定，初中幾何將邏輯性與直觀性相結合，通過各種圖形的概念、性質、作(畫)圖及運算方法的教學，發展學生的邏輯思維能力、空間觀念和運算能力，并使他們初步獲得研究幾何圖形的基本方法。

（一）通過“轉化”得出概念

在幾何概念課的教學中，為了使學生建立清楚的概念，明確概念的內涵，掌握概念所反映的事物的一切本質屬性的總和，教師在教學時必須十分注意一些近似概念的異同，采取直觀形象思維到抽象邏輯思維的有效教學手段，使學生既明確概念的內涵，又掌握概念的外延，弄清概念間的關系，以防止概念的含糊與混亂，把教學重點放在概念的本質屬性上。正如這兩位老師所做的，先從圓內接三角形入手，讓學生回憶圓內接三角形的概念，然后將類似的概念轉化成要學習的概念。這樣做不僅讓學生了解到幾何圖形和概念之間都是有聯系的，而且為以后學生自己研究新圖形提供了合適的思考方法和思路。

（二）探索圖形得出性質

這兩位老師不約而同地選擇了一個普通的圓內接四邊形作為學生的研究對象，從最直接的圖形入手，放手讓學生自己思考如何解決這樣的問題，其中一位老師還鼓勵小組進行討論，既鍛煉了學生獨立思考的能力，又訓練了學生的書面和口頭表達能力，還體現了小組合作的必要性。從這兩節課來看，學生的表現足以證明，老師這樣用心的安排起到了非常好的效果。兩個班的學生都能從幾何圖形的基本元素入手，很快尋找到“對角互補”的性質。

（三）依據公理證明性質

由于課堂上兩位老師都沒有過多的言語，學生有充分的時間沉浸在自己的思維過程中，取得了不錯的效果。兩個班的學生都用至少三種方法對性質進行了證明。在這一過程中，學生的讀圖能力、思維能力、說理能力都得到了很好的鍛煉和提升。學生還對用已知的公理和定理來證明新性質有了更深刻的理解。

（四）應用概念和性質解題

在例題的選擇上，兩位老師都選擇了直接運用性質和拓展運用性質的兩道題。其中，例2是書上的直接例題，例1也來源于書上的練習題。在課上，兩位老師都是不急不忙地讓學生充分理解概念和性質，例題也都是學生自己完成的。例2有不少學生使用了兩種以上的解法。

（五）查漏補缺、拓展延伸

在小結環節，兩位老師都讓學生談了這節課的收獲。筆者覺得，經過這節課，學生的收獲絕不只是知識層面的，更使思維方式得到了訓練。

對于“思考：每個三角形都有一個外接圓，是不是所有的四邊形都有外接圓？什么樣的四邊形有外接圓？”這個問題，兩位老師的處理方式略有不同。對這個知識點，課標和課本都沒有硬性要求。筆者覺得，兩位教師的處理方式都可以。

三、課后的思考

從兩位老師的教案來看，這兩節“同課異構”課的差別不大，都對學生起到了比較好的效果，但仍有些許值得思考的地方：

1.教師對學生回答問題后的鼓勵性話語偏少；

2.可能由于課堂時間有限，教師沒來得及對學生所犯的錯誤進行追溯和整理。