數列學習中哲學思想的挖掘與啟示

汪海燕

(浙江省臺州市黃巖區第一職業技術學校 浙江臺州 318020)

恩格斯指出：“數學是辯證的輔助工具和表現方式，沒有數學，看不到哲學的深度；沒有哲學，看不到數學的深度，而沒有兩者，人們就什么也看不透?！倍鞲袼沟倪@一論述指明了數學和哲學之間的關系，把數學劃歸到了哲學范疇。而哲學是一切自然科學和社會科學的概括和總結，是世界觀和方法論的統一。對于數學，著名數學家克萊因說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心情最獨特的創作；哲學能使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上一切?！币虼?，教師在數學教學時，不能僅體現基礎工具的價值性、廣泛的應用性，還要體現文化素養、思維發展的價值。從更高層面而言，數學教育還應體現哲學價值，讓學生獲得真正的智慧。然而，數列學習是發展學生思維能力、凸現哲學思想的絕好素材。因此，筆者通過數列的學習，談談其蘊含的哲學思想及啟示。

一、數列學習中，“變”與“不變”

唯物辯證觀點認為，“變”與“不變”是針對事物運動和相對靜止兩種狀態的分析，不變是相對的，變是絕對的。[1]但它們在一定條件下，又可相互轉化。例如，數列學習中的等差或等比定義：如果一個數列從第2項起，每一項an與它的前一項an-1的差(比)等于同一個常數d。

那么，這個數列就叫做等差(比)數列。教師在教學時，如果僅僅讓學生記住或運用上述這些知識，而沒有讓學生體會到“變”與“不變”這一深刻的哲學思想內涵，還遠遠不夠。否則，結果只能導致學生在求等差數列(或等比數列)的通項公式an、求和sn上打轉，知識內涵得不到深刻理解，聯系的思維網絡難以建構。不管是等差數列、等比數列，還是一般的數列，在不停變化的每一項之間，總會存在某些規律性的、本質的東西。

案例1：數列單元復習時，等差數列等價定義的構建。

教師通過引導學生推導這些等價公式，總結出等差數列的遞推公式、通項公式、前n項公式在不同題目中的運用，體會定量與變量之間的關系，促使知識轉變為能力。

二、數列學習中，“個性”與“共性”

唯物辯證法認為，事物之間是具有聯系的，普遍存在“個性”和“共性”，二者互相依存。哲學上認為共性是對事物個性的綜合，根據個體的特點展現出不一樣的個性，這就是哲學上常說的“共性寓于個性之中”。同理，如果離開了共性的參考，個性也就不存在了。那么，如何運用這一哲學思想去認識數列學習中的有關知識呢？

案例2：教材習題的一個教學片斷：

設等差數列的{an}的前n項和公式，求它的前3項，并求它的通項公式。教師在教學時，在實施了多種解法后，又引導學生進行變式。

變式1：若將上述題設條件“等差數列”去掉，又如何求其通項公式呢？

問題出示后，學生很自然的想到前n項和Sn與第n項an的關系式的運用。

又由于a1=8=10×1-2。因此，數列的通項公式an=10n-2。

此時，有一位同學S1舉手說：

這時，另一位同學S2舉手回答說：“當n=1時，a1=S1-S0，其中S0是沒有意義的?！?/p>

同學S1又問：“既然Sn表示數列前n項和，那么，S0就表示前0項和，我們就可認為S0＝0。a1我們就不另加討論了。”

筆者一方面驚訝于學生的創新思維；另一方面，也驚訝于學生話語中的合理成份。事實上，“S0＝0”符合我們的習慣思維。那么，如何解釋或促使學生正確理解呢？我把問題又作如下變式，讓學生去思考、去討論：

學生通過解答嘗試，此時，他們終于發現了a1=S1=10，而不再滿足：

為什么呢？矛盾的出現，從而進一步激活了學生的情感結構，學生的學習興趣也高漲起來，通過熱烈討論，找出S0＝0不合理的原因：在等差數列中，我們知道公差d是從第2項開始定義的，即

到此，學生明白“a1=S1”與“an=Sn-Sn-1(n≥2)”的關系是個性與共性的關系。有時，個性會淹沒共性；而有時，個性會得到張揚。隨著筆者教學時這種哲學思想的滲透，驚喜地發現學生在求數列通項公式時，不再一味地套用公式，而是從更高層次去思考面臨的問題。

三、數列學習中，“局部”與“整體”

唯物辯證法認為，整體居于主導地位，整體統率著局部，具有局部所不具備的功能；局部在事物的存在和發展過程中處于被支配的地位。在數列中，潛在著許多內容和關系，涉及到“局部”與“整體”問題。教師在教學時，如果能善于發掘教材內容中“局部”與“整體”的潛在關系，引導學生廣泛聯想，去變換、去探索、去創造。同時，使學生對某個“局部”內容的“好感”轉移到學習的“整體”內容，拓展知識的學習和掌握。例如，我們在求解數列極限值時，要先觀察數列，找到數列的規律，對其進行定性，掌握數列整體規律，在結合規律中的局部定義進行討論，這類問題就可以迎刃而解了。[2]

案例3：求下列數列的極限

數列的極限的定義是：若當n無限增大時，xn無限趨近于某一固定的常數A，則A就為數列{xn}的極限。這就意味著求數列{xn}的極限，只須看當n無限增大時，xn是否無限趨近于某一固定的常數A？數列{xn}中的有限項不管數值怎么變化，都不影響它的極限值，即以上兩個數列的極限都是0。

到此，學生掌握了此類問題的實質和規律，若遇到類似的問題，也就能迎刃而解。同時，教師通過探索創造，激發了學生的學習興趣，從而培養了學生思維的獨創性。

四、數列學習中，“特殊”與“一般”

“特殊”和“一般”是中學數學重要理念。典型例題和數學概念就體現了這一點。我們可以把數學概念和定律看做是一般問題，典型例題看做是一般規律的個性化。[3]典型例題是數學教師經常運用到的素材，往往會通過觀察特殊圖形、特殊取值等方式進行解題。數列中的定義域問題，是通過把問題特殊化來進行研究，研究特殊取值對數列的影響，從而幫助學生加深對知識點的了解和運用，對培養學生舉一反三的數學思維大有裨益?！皬奶厥獾揭话?，再由一般到特殊”正是這一數學思想的具體體現。數列學習中，特殊與一般這一重要的哲學思想普遍存在與滲透。

例如，等差數列通項公式的推導

即對任何的n∈N*都有。我們如果運用這一思想方法進行解題分析、探求思路，可使學生迅速尋找到問題解決的思路。

案例4：設數列a1，a2…，a6是各項均不為零的等差數列，且公差，能否將此數列刪去兩項，使得余下的項組成的數列(按原來的順序)是等比數列？若能，寫出這個等比數列；若不能，請說明理由(江蘇高考卷改編)。

不妨從特殊的或簡單的情形入手試試：

能不能從上面的討論中找到有價值的“東西”呢？不難發現：上述兩種情形中的問題含有原等差數列中的連續三項，如果等差數列中的連續三項成等比數列，則其公差d一定為0呢？設為等差數列中任意連續三項，它們若成等比數列，則有

因此，要想使刪去兩項后余下的四項成等比數列，必須保證余下的四項中不含原等差數列中的連續三項。根據等差、等比數列的共性，討論以下幾種特殊取值：

情況(3)中的數列若成等比數列,

綜上可述，不能將此數列刪去兩項，使得余下的項組成的數列(按原來的順序)是等比數列。

實踐出真知，筆者多年的數學教學經驗再一次詮釋了哲學和數學密不可分關系。學生對數學知識的掌握能力固然重要，但是更重要的學生對于數學問題的分析能力，只有精準的審題、舉一反三的解題思維，才是數學考試的制勝法寶。

五、數列學習中，“量變”與“質變”

“量變”和“質變”是事物發展過程中歷經的階段。其中，“量變”是更容易被人們觀察到的數量和程度上的變化。比如，多少、快慢等?！百|變”則是不易被人們觀察到的本質的變化。哲學上把這二者看作是辯證統一的關系，量變是質變的基礎，質變是量變的必然結果。在數列學習中，有相當多的學生對于“0.9=1”覺得無法理解，總認為0.9應該小于。事實上，這就是在教學中沒有有效滲透“量變”與“質變”這一哲學思想的后果。對于0.9應該小于，學生的合理解釋是0.9＜1(1個9)；0.99＜1(2個9)；0.999＜1(3個9)；……；0.999……＜1(無窮個9)。不可否認，學生的解釋有其合理的成份，但卻是錯誤的。因為(n個9，n有限)(無限個9)。

事實上，這種情況無窮相加，接近于1和有限相加接近于1具有本質的區別。有限發展到一定境界下，將會進入另一個循環，這就是無限理念的體現。無限理念是數學思維的重要一環，通常無限數目相加得來的和，并不一定是某一個具體的代數，還可以是一個無窮值，我們把它稱之為“部分和”的極限，即無限個相加不再是有限個相加的自然過渡，而是發生了質的變化。當然，量變和質變既有區別，又有聯系，兩者之間有辯證關系。量變能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一，在數學教學工作中起重要作用。對任何n個9，n有限，都小于1，發生的都是量變，不是質變。但是，不斷地讓n增加，經過無限過程之后，0.9=1，發生的是質變了。這就是借助極限法從量變認識質變。

教師在教學中，必須讓學生明白有限個相加與無限個相加的本質區別，即要明白從有限個相加到無限個相加，發生的不僅僅是量變，而重要的是發生了質變。否則，發生下面的錯誤是難免的，即認為

六、結束語

哲學是反映客觀世界發展規律的學科，也是新時代數學教學理念的源泉。因此，數學教師在教學中，要把數學思維和哲學思維進行辯證統一，指導學生體會數學中的千變萬化，抓住學習的重點，培養學生嚴謹、科學的數學學習習慣。由于在人們學習數學和運用數學解決問題時，要不斷經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、演繹證明、反思建構等思維過程。而哲學思想，特別是辨證思想卻參與整個思維過程，使之做出合理的思考與判斷，形成理性思維。而且也是教學中貫徹知識性和思想性相統一原理，教學與育人相統一原理的需要，是數學學科道德的要求。因此，教師在數學教學中，要講推理，更要講道理，并且還要講哲理。