對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的策略研究

張玉婷

[摘 ?要] 教師在執(zhí)教過(guò)程中需有效地把握各種教學(xué)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生全面反思，從而形成良好的反思習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的不斷提升. 文章通過(guò)以下教學(xué)策略發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力：審美觀點(diǎn)——促發(fā)反思意識(shí);概念教學(xué)——激發(fā)反思能力的有效載體;例題教學(xué)——培養(yǎng)反思能力的重要途徑;反思檔案袋——培養(yǎng)反思能力的有效助手.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);反思能力;策略

反思能力就是主動(dòng)地對(duì)學(xué)習(xí)的認(rèn)知活動(dòng)客觀地進(jìn)行反思活動(dòng)，這些反思活動(dòng)包括分析、審視、總結(jié)、評(píng)價(jià)和調(diào)控. 反思能力的培養(yǎng)不僅關(guān)系到教與學(xué)的進(jìn)程與成效，還關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成以及思維能力的發(fā)展. 那么，作為一名一線數(shù)學(xué)教師，首先需要自身對(duì)反思能力有足夠的理解和認(rèn)知，并有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，這是教師實(shí)施教學(xué)的責(zé)任，更是優(yōu)秀教師策略的體現(xiàn). 當(dāng)然，反思能力的培養(yǎng)并非一蹴而就的，需要在日常教學(xué)中一以貫之，離不開(kāi)全方位的行動(dòng).

審美觀點(diǎn)：促發(fā)反思意識(shí)

數(shù)學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，它也具有獨(dú)特的美感，它的美蘊(yùn)藏于它的基本結(jié)構(gòu)中，需教師發(fā)掘并揭示. 因此，在教學(xué)中，教師需要時(shí)時(shí)不忘向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)的美，如對(duì)稱(chēng)美、統(tǒng)一美、類(lèi)比美、和諧美、奇異美、簡(jiǎn)單美等，促發(fā)學(xué)生的反思意識(shí).

案例1：在教學(xué)“橢圓的定義”時(shí)，教師可以不失時(shí)機(jī)地揭示橢圓所具備的和諧美與對(duì)稱(chēng)美，從而以美的意識(shí)喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在美的享受中促進(jìn)學(xué)生積極思維. 具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

由定義可得MF1+MF2=2a.

據(jù)距離公式又有 + =2a ① . ？搖？搖

師：以上方程①可否作為橢圓方程？

生（思考了片刻）：能.

師（追問(wèn)）：那么對(duì)于這種形式你們是否覺(jué)得滿(mǎn)意？

生：不滿(mǎn)意.

師：為什么呢？

生1：我認(rèn)為它違背了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，可以將其進(jìn)行進(jìn)一步的化簡(jiǎn).

師：非常棒的想法！那大家要不要試一試呢？

生2：兩次平方整理，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），所以 + =1（a>c>0） ②.

師：經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)的確簡(jiǎn)潔多了，不過(guò)是不是還欠缺點(diǎn)其他美呢？

生3：在對(duì)稱(chēng)美上似乎有所欠缺.

師：那你有沒(méi)有辦法讓它更具對(duì)稱(chēng)性呢？（學(xué)生思考了片刻）

師（點(diǎn)撥）：是不是可以從a2-c2的正負(fù)特點(diǎn)著手變換呢？

生3：我想到了. 設(shè)a2-c2=b2（b>0），則有 + =1（a>b>0），此為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：多么棒的思路！大家是不是也發(fā)覺(jué)了，此處字母的引進(jìn)著實(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)美的一種追求……

在此案例中，教師適時(shí)揭示數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)竟是如此美妙絕倫，如此充滿(mǎn)美的韻律，以此進(jìn)一步激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，并帶著激情高昂的情緒進(jìn)行探究與思考，從而促發(fā)自覺(jué)的反思行為.

概念教學(xué)：激發(fā)反思能力的有效載體

高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是學(xué)生進(jìn)行所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻. 在課堂教學(xué)中，教師在運(yùn)用已有知識(shí)對(duì)新概念進(jìn)行定義的進(jìn)程中需盡量創(chuàng)設(shè)合理有效的問(wèn)題情境指引學(xué)生積極主動(dòng)進(jìn)行回憶和探索，不斷反思概念間的聯(lián)系，并在不斷反思“為什么”的過(guò)程中形成深刻的理解.

案例2：在教學(xué)“函數(shù)”之前，可以列出如下反思性學(xué)習(xí)的提綱：

（1）說(shuō)說(shuō)研究對(duì)象;

（2）闡述研究對(duì)象之間的關(guān)系;

（3）如何對(duì)應(yīng)x與y值;

（4）構(gòu)造以上對(duì)應(yīng)關(guān)系后，如何定義x與y之間的關(guān)系.

通過(guò)以上一系列反思行為，學(xué)生對(duì)初中時(shí)學(xué)習(xí)的函數(shù)定義有了一個(gè)完整的建構(gòu)，腦海中形成了一個(gè)較為完整的概念體系. 教師此時(shí)應(yīng)適時(shí)拾級(jí)而上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)進(jìn)行深層次的反思，從而對(duì)函數(shù)定義的內(nèi)涵產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)，如函數(shù)的定義域、函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則等. 通過(guò)以上一系列的反思行為，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，深化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為新課題的展開(kāi)奠定夯實(shí)的基礎(chǔ).

例題教學(xué)：培養(yǎng)反思能力的重要途徑

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要課型，它可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，還可以促進(jìn)良好數(shù)學(xué)觀念的形成，提升學(xué)生的反思能力. 筆者認(rèn)為，例題教學(xué)中反思能力的培養(yǎng)，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷“確定目標(biāo)——分析——推理——得出答案——反思——總結(jié)”的過(guò)程. 確定目標(biāo)是反思能力培養(yǎng)的第一步;分析和推理是反思能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié);反思的過(guò)程是反思能力培養(yǎng)的必要環(huán)節(jié);總結(jié)的過(guò)程是反思能力形成的表現(xiàn).

案例3：求函數(shù)y=x+ 的最值.

解：當(dāng)x>0時(shí)，y≥2 ，當(dāng)x= 時(shí)，可取等號(hào)，ymin=2 ;

當(dāng)x<0時(shí)，y≤-2 ，當(dāng)x=- 時(shí)，可取等號(hào)，ymax=-2 .

本題較為簡(jiǎn)單，學(xué)生求解起來(lái)毫無(wú)難度，從本題中凸顯了分類(lèi)討論思想. 然而，此時(shí)就結(jié)束本題的探究，那么就無(wú)法體現(xiàn)本題的價(jià)值所在，無(wú)法引領(lǐng)學(xué)生挖掘深層次的內(nèi)涵. 教師可以從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、解題規(guī)律和解題方法入手引導(dǎo)反思，從而生成深刻理解.

反思1：具有哪些特征的函數(shù)表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為此類(lèi)結(jié)構(gòu)式？觀察以下各式，思考哪些可以轉(zhuǎn)化，哪些不可以，并闡明原因.

（1）y=x-2+ ;

（2）y=x+ ;

（3）y= ;

（4）y= ;

（5）y= （ac≠0）;

（6）y= （ac≠0）.

反思2：具有此結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的表達(dá)式是否都可以用均值不等式進(jìn)行求解？（解題方法的反思）

（1）y=x+ （x≥2）;

（2）y=x+ （x≤-5）;

（3）y=x+ （0≤x≤1）.

反思3：如果改變了結(jié)構(gòu)式的符號(hào)，解題方法是否可行？是不是可以推廣到一般形式？

（1）y=x- 不適用均值不等式，但可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.

（2）y=ax+ （ab≠0）.

通過(guò)反思解題過(guò)程，可以總結(jié)出以下解題規(guī)律：

①當(dāng)ab>0時(shí)，可以選擇均值不等式求最值，當(dāng)取不到等號(hào)時(shí)，需改成函數(shù)單調(diào)性求解. （a>0，b>0，函數(shù)圖像如圖1所示）

②當(dāng)ab<0時(shí)，則可用函數(shù)單調(diào)性求解. （a>0，b<0，函數(shù)圖像如圖2所示;a<0，b>0，函數(shù)圖像如圖3所示）

此案例中，教師通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生反思結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和解題過(guò)程，重新審視和整合問(wèn)題，激活了學(xué)生的思維，開(kāi)闊了學(xué)生的思路.

反思檔案袋：培養(yǎng)反思能力的有效助手

反思習(xí)慣的養(yǎng)成需要學(xué)生通過(guò)不斷去自我監(jiān)督和自我評(píng)價(jià)自身的學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)方法才能得以實(shí)現(xiàn). 反思檔案袋的創(chuàng)建是形成性評(píng)價(jià)的一種形式，它是幫助學(xué)生養(yǎng)成反思習(xí)慣的有效助手. 反思檔案袋包括學(xué)習(xí)筆記和錯(cuò)題集，學(xué)習(xí)筆記則用來(lái)記載預(yù)習(xí)中遇到的困惑、學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲以及個(gè)人的反思小結(jié)，通過(guò)不斷地重溫學(xué)習(xí)筆記達(dá)到建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)的目的. 而錯(cuò)題集顧名思義是用來(lái)記載作業(yè)、練習(xí)和考試中的一些典型錯(cuò)誤，記載的同時(shí)還需進(jìn)行以下反思：首先反思錯(cuò)的原因是什么，是哪種原因?qū)е碌腻e(cuò)誤，如何避免錯(cuò)誤的再次發(fā)生;其次是將初次解題時(shí)的思路記錄下來(lái)，反復(fù)剖析和反思，同時(shí)對(duì)自身的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行批判性思考，以此對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效的重組，對(duì)思維進(jìn)行合理的調(diào)控. 以下為學(xué)生錯(cuò)題本上的一道典型題：

案例4：橢圓 + =1的焦點(diǎn)為F1和F2，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍為_(kāi)_______.

錯(cuò)因反思：學(xué)生在求解此題時(shí)易形成以下兩種錯(cuò)誤：①在利用余弦定理cos∠F1PF2<0求解時(shí)易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤;②一些學(xué)生思維卡殼，無(wú)法想到借助極限思想首先求90°的策略.

為了培養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本題進(jìn)行加工和引申，通過(guò)“一題多變”促進(jìn)思維的形成. 學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，對(duì)以上問(wèn)題提出了以下變式：

變式1：橢圓 + =1的焦點(diǎn)為F1和F2，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)∠F1PF2為銳角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍為_(kāi)_______.

變式2：橢圓 + =1（a>b>0）的焦點(diǎn)為F1和F2，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)∠F1PF1為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍為_(kāi)___.

以上變式中，變式1較為簡(jiǎn)單，學(xué)生解決起來(lái)沒(méi)有難度;而變式2具有一定的思維量，是一道值得深究的題目，教師可以以此作為探究范例，在課堂上與學(xué)生一同探究和解決，從而讓學(xué)生感受到自己不僅是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，還是一個(gè)思考者、探究者和成功者.

總之，反思本質(zhì)上是對(duì)問(wèn)題的一種理性思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)反思，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力是廣大數(shù)學(xué)教師的新課題. 高中數(shù)學(xué)中的概念、定理、公式和法則等錯(cuò)綜復(fù)雜，通過(guò)反思撥開(kāi)重重迷霧，探究到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)思維趨向成熟和完善，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的反思能力.