疑由角生，順角而為，激發思維，提升素養

楊建瑞

【摘要】問題是數學的心臟，將具有深刻數學背景的數學問題作為本源進行開發，可以產生新的課堂教學案例，加深學生對數學知識本質的理解，提升學生的數學思維品質和數學素養.

【關鍵詞】角化邊;邊化角;數形結合;演繹推理;極端原理

一、眾里尋它千百度——選例

那是一次試卷講評課，下面實錄師生的思維“遭遇戰”.眾里尋它千百度，踏破鐵鞋無覓處，課堂遭遇恰逢時.

經過積極討論學生們達成共識，解法1貌似有理，但仔細審題，發現他沒有應用到“銳角三角形”這一條件，所得下界不夠“到位”.因為它僅用了題意“銳角△ABC”的必要條件，不是充分條件，所以應求“下確界”.

這是一道條件簡潔、形式對稱、結構優美并具有深刻內涵的素養型試題.解法1：“角化邊”著重考查數學運算素養;解法2：“邊化角”著重考查數學建模素養;解法3：“數形結合”著重考查直觀想象素養;解法4：“演繹推理”著重考查數學抽象素養及邏輯推理素養.教師因勢利導，抓住學生思維痛點，剝絲抽繭，可以全方位地培養學生的核心素養.

三、接天蓮葉無窮碧——變式

高考試題的特點是“源于教材，但又略高于教材”.這就需要教師對課本例題、習題適當改編，利用邏輯演繹法、推廣引申法、逆向思維法、極端原理法、知識重組法等，讓學生在開放的題海里感受解題過程.

從變式問題，我們可以看到解決這類問題的關鍵是“變化中的角B”的刻畫.解法2：直接把所求邊長問題轉化為三角函數問題，利用其有界性來解決，這種方法無疑是最直接也是最容易推廣的.解法3：出奇制勝地引入圓的模型描述變化中的角和“動態平衡”下的三角形，這是對“范圍”最形象直觀的描述.解法4：從特殊位置和對稱位置入手，解題可以達到事半功倍的效果.而解法1借助邊來刻畫角的范圍是最抽象的，解法稍遜，但只要對數學結構進行適當的配湊，經大量的計算也可以達到目的.

四、映日荷花別樣紅——感悟

預設誠可貴，生成價更高.課堂上從學生的認知規律出發，經過嚴密推導，先得出此題的繁解，再抓住題型特征通過分析獲得簡解，實現了分層思考、多角度思考、深度思考、逐步優化的一題四解，最后將問題推廣到一般情形.

數學是思維的科學，暴露思維過程是數學教學的核心，數學教學的本質就是“教學生學會思考”（涂榮豹教授語），數學核心素養的本質也應當是數學思考，數學教學的首要任務就是要教學生“怎樣思考”.我們要教大多數學生能想到的方法，教本源的方法，有技巧也要教技巧是怎么想出來的.古人詩云：“鴛鴦繡出任君看，莫把金針度與人.”作為教師，既要把繡出的“鴛鴦”給學生看，更要把“金針”授給學生，讓學生自己有能力去繡出更新更美的“鴛鴦”.

【參考文獻】

[1]杜紅全. 例談高考中的三角最值問題[J]. 數學通訊，2018（05）：32-33.

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[3]劉素梅. 三種數學思想在解三角形問題中的應用[J].中學生數理化（高二）， 2016（09）：13.