空間直角坐標(biāo)系下點到直線的距離的幾種計算方法

【摘要】平面和直線是空間直角坐標(biāo)系下最簡單也是最重要的點的軌跡.以向量為工具，建立平面和直線的方程，以此來研究直線和平面的相關(guān)問題，是重要的方法之一.在這篇文章里，我們將用四種完全不同的方法來研究空間直角坐標(biāo)系下定點到定直線的距離問題，以此來強調(diào)空間直角坐標(biāo)系下直線和平面的問題中經(jīng)常用到的一些方法，比如解平面束方程的方法、點落在直線上的參數(shù)表示法、兩向量垂直則這兩個向量的數(shù)量積為零等等.

【關(guān)鍵詞】點;直線;平面;距離

前 言

著名的作家培根說過：“歷史使人賢明，詩造就氣質(zhì)高雅的人，數(shù)學(xué)使人高尚，自然哲學(xué)使人深沉，道德使人穩(wěn)重，而倫理學(xué)和修辭守則則使人善于爭論.”物理學(xué)家倫琴說過：“第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三是數(shù)學(xué).”愛因斯坦說過：“數(shù)學(xué)之所以比一切其他學(xué)科受到尊重，一個理由是因為它的命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學(xué)經(jīng)常處于被發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險.”數(shù)學(xué)，在任何時期都是自然科學(xué)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)幾乎滲透任何一門學(xué)科，是物理學(xué)，天文學(xué)等重要科學(xué)的必要準(zhǔn)備.在經(jīng)濟騰飛，科技發(fā)展迅猛的當(dāng)今社會，認(rèn)真學(xué)好數(shù)學(xué)不僅能培養(yǎng)我們對事物的正確判斷能力，還可以分析和解決現(xiàn)實生產(chǎn)生活中遇到的問題.數(shù)學(xué)從古至今，產(chǎn)生的作用都是不可估量的.

當(dāng)下，人工智能和大數(shù)據(jù)空前發(fā)展，而人工智能和大數(shù)據(jù)的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)的計算能力、抽象能力和計算機語言的編寫能力.這就讓數(shù)學(xué)的教與學(xué)得到了前所未有的重視，學(xué)好數(shù)學(xué)和計算機在人生的道路當(dāng)中會多上許多的可能.大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)主要集中在《高等數(shù)學(xué)》《線性代數(shù)》《概率與數(shù)理統(tǒng)計》這三大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程.高等數(shù)學(xué)更是大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，學(xué)好《高等數(shù)學(xué)》，不僅僅可以為后續(xù)學(xué)習(xí)《概率與數(shù)理統(tǒng)計》打下堅實的基礎(chǔ)，還可以為很多工科的專業(yè)課做良好的鋪墊.一些學(xué)術(shù)型的高校，甚至在全校開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，包括了看似與數(shù)學(xué)毫無關(guān)系的中文系和外文系.《高等數(shù)學(xué)》除了研究一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分之外，也研究空間幾何向量問題、級數(shù)問題.高等數(shù)學(xué)中研究的空間解析幾何部分是數(shù)學(xué)史上一個劃時代的成就，它開創(chuàng)了人們用代數(shù)方法研究幾何問題的新時代，其中數(shù)形結(jié)合方法是后續(xù)許多課程，比如多元函數(shù)微積分的重要基礎(chǔ).

在空間直角坐標(biāo)系下，點、直線、平面是最基本的也是最重要的點的軌跡.點、空間直線和空間平面之間存在很多看似簡單的問題，比如點到直線的距離、直線與直線的共面問題、直線與直線的夾角問題、點到平面的距離問題、異面直線的距離問題、直線和平面的夾角問題、平面與平面的夾角問題等，大部分問題都能推導(dǎo)出簡單的計算公式，但是點到直線的距離問題看似簡單，卻不能根據(jù)點的坐標(biāo)和直線的方程，直接給出一個比較簡潔的公式，但這并不表示這個問題是難以解決的，相反地，解決這個問題的方法多種多樣.也正是這種非公式化處理問題的方式，為學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何提供了很多動力.在這篇文章里，我們將用多種不同的方法來求解空間直角坐標(biāo)系下點到直線的距離問題，并以此來介紹空間直角坐標(biāo)系下直線和平面的一些問題在解決時候常用到的一些方法：比如解平面束方程的方法，直線的參數(shù)方程，兩平面垂直當(dāng)且僅當(dāng)其法向量垂直等等.為了描述與理解方便，我們這里給出具體點的坐標(biāo)和直線的方程.

四種解法之間各有優(yōu)劣，所使用的方法也各有側(cè)重.從過程的復(fù)雜程度來看，解法一和解法二較為簡潔，解法三過程較為煩瑣，解法四過程的復(fù)雜程度居中.從知識結(jié)構(gòu)來看，解法一突出平行四邊形的面積等于相鄰兩邊所對應(yīng)的向量的叉積的模;解法二突出點落在直線上時，點的坐標(biāo)可以用直線的參數(shù)方程明確地表示出來;解法三是把點到直線的距離轉(zhuǎn)化為點到面的距離問題，利用點到平面的距離公式求解，而且解法三當(dāng)中用到的過定直線的平面束的方程，在直線與平面的關(guān)系當(dāng)中是非常重要的;解法四突出把點到線的垂足轉(zhuǎn)化為點到面的垂足.通過研究同一問題的不同解法，可以掌握相關(guān)問題的不同理論及其應(yīng)用，這點在空間平面和空間直線的問題上尤為突出.

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