基于“四基”的“平方差公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

張美琳 王良偉 陳仿

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).本文以“平方差公式”為載體，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探索與解決問題中，感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】四基;平方差公式;教學(xué)設(shè)計(jì)

宋乃慶教授稱，“四基”是對“雙基”的繼承與超越，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得了與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新課程對能力性目標(biāo)、過程性目標(biāo)、情感性目標(biāo)的重視，以及對學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標(biāo)指向[2].張奠宙先生稱，數(shù)學(xué)的四個(gè)“基”是不能分割的，沒有單純的知識，也沒有脫離知識的技能，數(shù)學(xué)思想方法建立在知識和技能之上，但也具有獨(dú)立的價(jià)值，而學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是以上述三基為載體，貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的[3].因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識的獲得、技能的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)方法的提煉是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的發(fā)展互相交叉滲透的.

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和課程培養(yǎng)目標(biāo)來制訂具體的教學(xué)目標(biāo)，選擇教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)的過程[4].如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在探索與解決問題的過程中，獲得基礎(chǔ)知識和基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、有效提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，合理的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)顯得尤為重要.本文以 “平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，加以說明.

一、教材分析與準(zhǔn)備

（一）教材分析

“平方差公式”選自人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第14章第2節(jié)[5].本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算、列代數(shù)式和整式的加減法與乘法之后，對特殊多項(xiàng)式的乘法更進(jìn)一步的探索，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從代數(shù)與幾何兩方面理解平方差公式的意義，體會(huì)從一般到特殊思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.平方差公式和后面的完全平方公式不僅為特殊多項(xiàng)式的乘法提供了簡便運(yùn)算，并且為后續(xù)相關(guān)知識如因式分解的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

（二）學(xué)情分析

八年級的學(xué)生正處于好奇心和求知欲強(qiáng)烈的階段，并且已熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式和整式的乘法，能用已有基本知識和方法分析和解決相關(guān)問題.但學(xué)生在計(jì)算多項(xiàng)式乘法時(shí)常常會(huì)遺漏某項(xiàng)或在確定某項(xiàng)符號時(shí)出錯(cuò)，并且缺少用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題以及用數(shù)學(xué)的思維提出問題的意識，同時(shí)，學(xué)生可能存在無法透徹地理解平方差公式本質(zhì)的問題，也不能理解公式中字母的廣泛含義.

（三）教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握平方差公式;理解公式結(jié)構(gòu)和其中字母“a”“b”的含義;理解平方差公式的幾何意義;能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算;會(huì)推導(dǎo)和證明平方差公式.

過程與方法：經(jīng)歷探究平方差公式的過程，讓學(xué)生明確這一公式既來源于整式的乘法，又可用于整式的乘法;探索平方差公式的證明方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;感受利用公式解決實(shí)際問題的便捷;嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：感悟平方差公式具有強(qiáng)大的簡化運(yùn)算的功能;體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的密切關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解平方差公式以及公式的結(jié)構(gòu)特征，熟練地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡單計(jì)算.

難點(diǎn)：對公式中字母的廣泛含義和公式的幾何意義的正確理解.

（五）教學(xué)方法與用具

教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合，學(xué)生自主探究與演示相結(jié)合.

教學(xué)用具：幻燈片、黑板、粉筆、彩色卡紙、剪刀、磁鐵.

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

麥麥和兜兜是一對好朋友，麥麥買了10.2 kg 9.8元/kg的糖果，兜兜迅速算出需付99.96元.你知道兜兜是怎樣快速計(jì)算的嗎？這實(shí)際與我們今天要學(xué)習(xí)的一個(gè)乘法公式有關(guān).

【設(shè)計(jì)意圖】生活中類似的情景很多，看似是一個(gè)簡單的乘法運(yùn)算，但這兩數(shù)都是小數(shù)，計(jì)算起來比較麻煩.這里用它來引出課題的主要目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)在生活中的重要意義.

（二）學(xué)習(xí)活動(dòng)一：復(fù)習(xí)演練，探索歸律

請學(xué)生用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，并以前后四人為小組討論后面的問題.

（1） （x+1）（x-1）=;

（2） （m+2）（m-2）=;

（3） （2x+1）（2x-1）=.

問題1：等式左邊的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？

問題2：等式右邊的多項(xiàng)式有什么規(guī)律？

問題3：你能用一句話歸納出上述等式的規(guī)律嗎？

問題4：對于上述歸律，你有什么問題嗎？

請一名學(xué)生分享討論的結(jié)果，其他學(xué)生補(bǔ)充說明，最后教師帶領(lǐng)全班學(xué)生總結(jié)歸律，等式左邊的多項(xiàng)式都是兩項(xiàng)的和乘以這兩項(xiàng)的差，右邊是這兩項(xiàng)的平方差，總結(jié)得出兩項(xiàng)的和與這兩項(xiàng)的差的積，等于這兩項(xiàng)的平方之差，這兩項(xiàng)分別用字母“a”“b”表示，結(jié)論符號化，這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式.再用代數(shù)的方法也就是多項(xiàng)式乘法法則證明并板書過程.

最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的特征， 這實(shí)際是多項(xiàng)式乘法（a+b）（a-b）中p=a，q=-b的特殊情況，教師再進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)平方差公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)和與這兩項(xiàng)差的積等于這兩項(xiàng)的平方差，其中等式左邊有兩個(gè)相同的項(xiàng)a，另外兩項(xiàng)b和-b互為相反數(shù)，（這里稱a為“相同項(xiàng)”，稱b為“相反項(xiàng)”）等式右邊是相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差a2-b2.利用該公式簡化計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵就要找出多項(xiàng)式中誰是“相同項(xiàng)”、誰是“相反項(xiàng)”，這里一般需要利用加法交換律變形之后來確定.如果多項(xiàng)式?jīng)]有上述特征，則仍需用多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】在前面學(xué)生已學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法法則，因此從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，選擇合適的知識生長點(diǎn).組織學(xué)生小組合作討論這幾個(gè)問題，一是學(xué)生之間可以相互校對計(jì)算結(jié)果，有問題的及時(shí)更正，有利于學(xué)生之間互幫互助，培養(yǎng)合作精神，更進(jìn)一步地掌握多項(xiàng)式相乘的法則;二是對于前兩個(gè)問題，學(xué)生是可以通過觀察得出答案的，第三個(gè)問題則需要概括歸納，這樣設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而問題4的設(shè)置有利于培養(yǎng)學(xué)生，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.教師借助“相同項(xiàng)”和“相反項(xiàng)”，對公式的特征進(jìn)行概括歸納，實(shí)現(xiàn)文字語言和符號語言之間的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)發(fā)展學(xué)生的符號意識.

（三）學(xué)習(xí)活動(dòng)二：合作探究，解決問題

問題1：你能用下面圖形（如圖1所示）的面積說明平方差公式嗎？請同學(xué)們動(dòng)手拼圖、動(dòng)腦思考，小組間合作交流、實(shí)踐探討.

改變圖形的位置而面積不變，利用不同的表示方法得出平方差公式.請學(xué)生代表上臺演示拼圖過程， 最后教師再次用網(wǎng)絡(luò)畫板演示并講解證明過程（如圖2所示）.

問題2：現(xiàn)在大家能說出平方差公式的幾何意義了嗎？

請學(xué)生答，并利用追問的方式使學(xué)生自己逐步準(zhǔn)確描述出平方差公式的幾何意義：長為a+b、寬為a-b的長方形的面積等于邊長為a的正方形減去邊長為b的正方形的面積.這種利用面積相等來證明平方差公式的方法就叫做等面積法，這個(gè)方法能夠解決許多類似的數(shù)學(xué)問題.

【設(shè)計(jì)意圖】利用拼圖這個(gè)活動(dòng)來鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識和合作意識，在實(shí)際操作中親身體會(huì)平方差公式的幾何意義，通過鼓勵(lì)學(xué)生展示成果增強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)能力和自我效能感，用不同的方法來表示相同的面積培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.最后，教師再次演示并逐一說明各部分圖形面積的表示方法有利于學(xué)生進(jìn)一步理解平方差公式的幾何意義.問題2的提出主要是培養(yǎng)學(xué)生的理解歸納和表達(dá)能力.

（四）學(xué)習(xí)活動(dòng)三：例題學(xué)習(xí)，應(yīng)用新知

例1 用平方差公式計(jì)算：

（1） （2x+3）（2x-3）;（2） （-2x-y）（2x-y）.

例2 街心花園有一塊邊長為a（m）的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要加長2 m，而東西方向縮短2 m，請問改造后的長方形草坪的面積是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)，之后教師講解.

第（1）問，首先關(guān)鍵是找出誰是“a”，誰是“b”，并且在書寫時(shí)需注意2x是一個(gè)整體，要加括號，然后利用平方差公式計(jì)算即可.另外可做補(bǔ)充說明，“a”“b”可以表示數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、甚至更復(fù)雜的多項(xiàng)式.第（2）問有多種解法，鼓勵(lì)學(xué)生思考探索，嘗試用多種方法思考問題，深刻理解公式的含義并熟練運(yùn)用.

【設(shè)計(jì)意圖】例1的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的整體意識和換元思想，發(fā)展學(xué)生的符號意識.例2的設(shè)計(jì)有利于發(fā)展學(xué)生的模型思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)利用數(shù)學(xué)問題來解決實(shí)際問題的應(yīng)用意識.

（五）學(xué)習(xí)活動(dòng)四：急速挑戰(zhàn)，應(yīng)用反饋

本環(huán)節(jié)主要設(shè)置一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，如以砸金蛋的方式呈現(xiàn)，每個(gè)金蛋對應(yīng)例如選擇、判斷、巧算等不同類型的數(shù)學(xué)問題，主要是為檢測學(xué)生對本節(jié)知識掌握的情況，還可以起到提高學(xué)生注意力和活躍課堂氛圍的作用.

（六）學(xué)習(xí)活動(dòng)五：反思回顧，升華總結(jié)

首先，回到起初拋出的問題，鼓勵(lì)學(xué)生分享觀點(diǎn)，問題中的兩數(shù)都接近10，并且與10都相差0.2，把這兩數(shù)的乘積看成（10-0.2）（10+0.2），用平方差公式便可迅速算得結(jié)果.

其次，從知識層面、過程與方法層面、數(shù)學(xué)思想層面進(jìn)行總結(jié)并引導(dǎo)學(xué)生討論分享如下問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我掌握了哪些知識？對于這節(jié)課我喜歡哪些地方？哪些地方我還不太清楚？我做得好的地方以及需要改進(jìn)的地方有哪些？我學(xué)會(huì)的解題方法是什么？這種解題方法可以推廣應(yīng)用到哪些地方？本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容與以前學(xué)習(xí)過的知識有哪些聯(lián)系等等.

【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧反思，讓學(xué)生更深刻地感受知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

（七）布置作業(yè)

必做題：教材中對應(yīng)的練習(xí)題.

選做題：（1）化簡：（x+y）（x-y）（x2+y2）（x4+y4） ;

（2）解不等式：（3x+4）（3x-4）<9（x-2）（x+3）.

思考題：你還有其他方法證明平方差公式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，因此作業(yè)分層設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)口、動(dòng)手能力，促進(jìn)學(xué)生多向交流，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索能力.

三、總結(jié)

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)步驟明確

教學(xué)過程首先是一種特殊的認(rèn)知過程，是為傳承知識文化、師生之間相互作用的認(rèn)識活動(dòng)，并且是師生之間、生生之間通過交流、溝通而促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展、追求與實(shí)現(xiàn)價(jià)值目標(biāo)的過程[5].傳統(tǒng)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)主要以教師講授知識、學(xué)生練習(xí)鞏固為主，這樣便導(dǎo)致學(xué)生對于知識的掌握僅知其然而不知其所以然，知識的發(fā)生發(fā)展全然不知，缺乏基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法.本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程設(shè)計(jì)緊扣以學(xué)生為中心，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識為主，使其在基本數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)、感悟思想.

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)包括教材分析與準(zhǔn)備和教學(xué)過程設(shè)計(jì)兩部分.具體包括教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重難點(diǎn)分析、教學(xué)方法與用具、教學(xué)過程設(shè)計(jì).具體的教學(xué)過程設(shè)計(jì)根據(jù)授課內(nèi)容明確三維教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)適當(dāng)選取學(xué)生認(rèn)知的生長點(diǎn)，選擇合適的教學(xué)方法，設(shè)置有效的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在問題探究與親身感知中快樂學(xué)習(xí).

（二）遵循五大原則

創(chuàng)造性教學(xué)并無固定模式，因此教學(xué)過程設(shè)計(jì)也并無固定程式，但必須要讓學(xué)生經(jīng)歷明確問題、深入探究、做出結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)論、運(yùn)用知識、鞏固知識的基本階段.案例設(shè)計(jì)遵循了以下原則：一是目標(biāo)明確.布魯姆的教育目標(biāo)分類學(xué)將教育目標(biāo)分為認(rèn)知領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動(dòng)作技能領(lǐng)域，在實(shí)際教學(xué)中，認(rèn)知、情感、動(dòng)作技能這三方面基本是同時(shí)發(fā)生的，因此應(yīng)從這三方面以及教學(xué)內(nèi)容來設(shè)置適宜的教學(xué)目標(biāo).二是內(nèi)容準(zhǔn)確.有許多教師在講授某些數(shù)學(xué)概念時(shí)會(huì)增加一些內(nèi)容，尤其是剛上任的教師對教學(xué)內(nèi)容理解不透徹很容易犯錯(cuò).例如，本節(jié)內(nèi)容中課本沒有明確的定義“相同項(xiàng)”“相反項(xiàng)”，因此在用這種說法歸納平方差公式的特征時(shí)，一定要闡述什么是“相同項(xiàng)”，什么是“相反項(xiàng)”.三是方法恰當(dāng).選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法能夠有效地提高教學(xué)效率，但在實(shí)際的教學(xué)過程設(shè)計(jì)中教師往往將多種教學(xué)方法結(jié)合在一起使用.四是組織形式合理.比如在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)或者探究式教學(xué)時(shí)需明確學(xué)生應(yīng)獨(dú)立學(xué)習(xí)還是小組合作學(xué)習(xí)，教師要適當(dāng)?shù)鼐幣抛?、明確分組.五是問題設(shè)置有效、簡明.有效問題的設(shè)計(jì)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自己逐步建構(gòu)知識，無效的問題不僅浪費(fèi)課堂時(shí)間而且無法有效完成教學(xué)目標(biāo).總之，要重視系統(tǒng)性知識的傳授與學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)積累的平衡，重視掌握知識與培養(yǎng)思想品德和提高能力并重，有效發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用，為培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能、豐富學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想方法、提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力和分析問題、解決問題的能力進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

（三）回顧反思

回顧本節(jié)課，第一，在創(chuàng)設(shè)問題情境中，利用學(xué)生在生活中熟悉的情境引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)在生活中的強(qiáng)大作用，激發(fā)學(xué)生的求知欲.第二，通過回顧和應(yīng)用上節(jié)的知識引導(dǎo)學(xué)生觀察探究、類比歸納出本節(jié)內(nèi)容的要點(diǎn)，充分考慮學(xué)生已有的知識和能力，抓住新知的生長點(diǎn)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生積極思考、討論，培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納和發(fā)現(xiàn)問題的能力.第三，通過實(shí)際操作和演示，學(xué)生能夠積累“做數(shù)學(xué)”的基本技能和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，其中滲透著轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.第四，例題的設(shè)計(jì)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了平方差公式中的整體思想和換元思想，“反思回顧 升華總結(jié)”環(huán)節(jié)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，因?yàn)椤敖淌菫榱瞬唤獭?第五，分層作業(yè)的布置關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，以必做題及時(shí)鞏固新知，更熟練地掌握平方差公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;以選做題深化提高，感受數(shù)學(xué)之美，增強(qiáng)應(yīng)用意識;思考題注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，增強(qiáng)創(chuàng)新意識.本節(jié)課的設(shè)計(jì)基于落實(shí)“四基”，培育“四能”的新教育理念，注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和滲透，在“雙基”基礎(chǔ)上突出基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，在“雙能”的基礎(chǔ)上注重對發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)，突出數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系.

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