“同心協力”數學模型的優化設計

李相斌 徐文軒

摘?要：研究2019年全國大學生數學建模競賽B題，“同心協力”是一項團隊協作能力拓展項目。此項目以團隊各人員用繩牽拉牛皮鼓顛球，通過合格的顛球數量比拼。本文綜合運用數學與物理學知識，建立數學模型，通過分析顛球的最佳高度及鼓面傾斜角度，來實現該項目的優化設計。

關鍵詞：二階微分方程組;剛體轉動定律;疊加原理

一、緒論

“同心協力”是一項富有思想性、挑戰性和趣味性的活動，培養人們積極進取的人生態度和團隊合作精神，是一種現代人和現代組織全新的學習方法和訓練方式。為了優化團隊顛球的過程，本文將通過結合數學和物理知識建立模型對該項目進行研究。

二、模型假設

（1）設球與鼓接觸時恰繩拉直，以球與鼓接觸點為坐標原點建立直角坐標系;

（2）忽略該項目比賽時自然風產生的外力、球與鼓接觸時所產生的摩擦力;

（3）球與鼓接觸時發生彈性形變所產生的間隔的距離和時間忽略不計;

（4）若干分鐘后球（在>=40cm范圍以上）保持平穩狀態;

（5）假設問題中八名隊員在圓周方向上均勻站位;

（6）不考慮能量損耗。

三、模型的建立與求解

（1）定義說明同心鼓作為剛體，不同位置的人向上拉時同心鼓可以看作做剛體轉動如圖1。通過對問題的分析，本文以豎直向下為正方向，豎直向上為負方向建直角坐標系，已知球下落的時間與鼓上升的時間相同。取空氣密度ρ氣=1.29×10-3kg·m-3（20℃時）。垂直下落的球受到重力mg、空氣浮力ρ氣Vg和空氣黏滯阻力12ρ氣CdSv2三個力的作用，其中m、M為球、鼓的質量，g是重力加速度，V為球的體積，Cd為空氣阻力系數，S1 、S2為球、鼓的最大橫截面積，v1、v1為球、鼓相對于空氣的速度。

（2）模型建立與求解

根據牛頓第二定律分別列出排球和鼓位移的二階微分方程：

根據式（1）可以解出S1、S2。（S1、S2分別為排球與鼓的位移）

依據題目要求“可以精確控制用力方向、時機和力度”，假設對鼓的合外力F合為45N，根據式（1）和初始條件vt=0=0，求得鼓位移為S2。

由題目條件知“S1+8>40”且“顛球次數盡可能多”，顛球一次所用時間越短，在相同時間內顛球次數就越多，當一次顛球所用時間為0.34秒時高度恰合適，此時高度h=0.4053m。

通過對問題二的分析：同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時同心鼓做剛體轉動，因為同心鼓為空心的假定同心鼓為一圓盤，其轉動慣量J=0.216kg·m2。因同心鼓做剛體轉動，由剛體轉動定律和剛體轉動定理列出二階微分方程組：

該二階微分方程組用于研究隊員發力時機、力度和某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系，其中變化很小，近似當做恒定值。

根據式（2）求得九組鼓面傾角分別為：0.6939、0.484959、1.08711、0.86352、1.14108、0.937536、0.925118、1.013865、0.461058。

從影響因素分析結果，若提前施力與作用90N力為同一人時，鼓面傾斜效果疊加;若為相對站立的兩人，則鼓面傾斜效果部分抵消;其他情況同理推出。從數據分析結果，鼓面傾角大小不僅與影響因素個數有關，還與影響因素作用對象有關，故數據較為合理。在計算過程中，我們求得空氣浮力對模型影響很小，故該因素忽略不計。

四、總結

本文綜合考慮數學與物理學知識，建立模型，研究“同心協力”拓展項目。建立模型簡潔，算法直觀，容易編程實現，逐步優化模型得到了較好的結果。同時也存在一些缺點，如復雜因素較多，不能對其進行全面考慮，導致求得的數值可能存在誤差。

參考文獻：

[1]司守奎，孫兆亮.數學建模算法與應用.北京：國防工業出版社，2018.9.

[2]鞠衍清.垂直下落球體運動的數值分析.大學物理，2008，27（11）：11-14.