潛在類別與潛在類別因子分析在異質性群體分類中的比較及應用

李觀海趙麗鄧凱升張瑛宮曉郜艷暉

（廣東藥科大學公共衛生學院流行病與衛生統計學系，廣東 廣州510310）

醫學、社會學和心理學等領域所關注的很多熱點問題都與抽象概念有關，如行為模式、滿意度等［1-2］。 由于抽象概念難以直接測量，通常用多個與抽象概念相關的調查條目間接測量，稱為潛變量（latent variable），而反映這些概念的相關調查條目稱為顯變量（manifest variable）。 潛變量模型是一類通過顯變量來度量潛變量信息的統計分析方法［3］，如顯變量和潛變量均為定量變量時的因子分析，以及顯變量和潛變量均為分類變量時的潛在類別分析（latent class analysis，LCA）。 LCA 也稱以模型為基礎的聚類分析，能將異質性人群進行有效分類。 和因子分析類似，當異質性來源于多個維度時，LCA可引入因子分析的思路，擴展為包含多個潛在類別變量（或稱因子）的潛在類別因子分析（latent class factor analysis，LCFA）模型，從多個維度對觀測進行分類［4］。 本研究通過模擬實驗對LCA 和LCFA 的分類效果進行比較，并用實例進行說明，為分類問題的統計分析方法選擇提供科學依據。

1 模型原理

1.1 潛在類別模型［4］

假設N個觀測均含有K個二分類顯變量，Yh表示第h個觀測的反應模式，潛變量x具有T分類，顯變量的聯合概率可表示為：

式（1）中，P（x＝t）表示第t類別的潛在類別概率；P（Yh｜x＝t）表示類別t內對應K個顯變量聯合的條件概率。 LCA 的基本假設為顯變量組合的概率分布可以由互斥的潛變量來解釋，每個潛類別對應顯變量的反應有特定的傾向選擇。

1.2 潛在類別因子模型

仍為N個觀測的K個顯變量，x1，x2，…，xL表示L個離散的潛變量x，第l個潛變量的分類數為Il，顯變量的聯合概率可表示為：

式（2）中，觀測反應模式的概率函數P（Yh）是多個潛變量分類下概率函數P（Yh｜x1，x2，…，xL）的加權，權重大小為所屬的L個潛變量聯合分布條件下的概率。 研究表明P 個相互獨立的二分類因子的LCFA 模型（基本P 因子模型）可看作2P個類別的LCA 的特例，基本P 因子模型和P ＋1 個類別LCA 簡潔性相當［5］。

LCA 和LCFA 均可通過最大似然估計法（maximum likelihood estimate，MLE）估計參數。 模型評價可用AIC（Akaike information criteria）、BIC（Bayesian information criteria）和L2等指標，其值越小意味著模型擬合越好。 模型建立后，利用貝葉斯理論，即最大后驗概率法，可將觀測歸為后驗概率最大的某一類別以實現分類。

目前模型可在Mplus、Latent Gold 等軟件中實現。

2 模擬研究

2.1 模型設定與條件分布

本研究模擬群體異質性假設由兩個維度F1和F2構成，探討樣本量、維度間關聯性對LCA 和LCFA 分類效果的影響。 模擬數據集在兩因子（F1和F2）兩水平LCFA 模型（記2-Dfactor（2，2））的理論分布下構建，定義F1的邊際概率和F1條件下F2的條件概率來控制F1和F2之間的關聯（關聯系數τ＝0：無相關；τ＝0．3：弱相關；τ＝0．5：中度相關；τ＝0．7：高度相關）；設置5 個二分類顯變量y1、y2、y3、y4和y5，根據各類別條件下顯變量的條件概率（見表1）產生5 個服從二項分布的隨機變量。 總樣本量設置為200，500 和1000 三種。 設置不同的種子數，每種樣本量條件下重復試驗20 次，分別產生20 個模擬數據集。

對模擬數據集分別采用LCA 和LCFA 模型分析，其中LCA 擬合的模型包括1-5 類別（1-Cluster 到5-Cluster）模型；LCFA 擬合的模型包括一因子兩水平模型（1-Dfactor（2））、兩因子兩水平模型（2-Dfactor（2，2））和三因子兩水平模型（3-Dfactor（2，2，2）），其中兩因子兩水平模型包括指定因子間關聯的模型（2-Dfactor（2，2）?）。 由于2-Dfactor（2，2）模型是模擬研究的理論模型，為和LCA 比較，將LCA的4-Cluster 模型作為對比模型。

每個數據集根據各個模型擬合的BIC、AIC、L2等統計量選出最優模型，計算按各擬合指標選擇4-Cluster模型和2-Dfactor 模型的次數及比例。 利用選擇模型對觀測進行分類，將分類結果和理論模型的觀測類別情況進行比較，計算正確分類率（%）。 正確分類率（%）定義為正確分類的觀測占總觀測的比例，平均正確分類率（%）為20 次試驗的平均。 根據BIC、AIC、L2選擇最優分類模型數的比例越大，表明模型擬合效果越好；模型平均正確分類率越大，表明模型分類效果越好。

表1 理論模型各類別顯變量（二分類）的條件概率Table 1 Conditional probabilities of all kinds of distinct variables （dichotomies） in theoretical models

2.2 模擬研究結果

當模擬數據兩維度無相關時，選擇2-Dfactor（2，2）模型的比例和平均正確分類率均高于4-Cluster模型；當兩維度弱相關時，則選擇4-Cluster 和2-Dfactor（2，2）模型的比例高于2-Dfactor（2，2）?模型；當兩維度中度相關時，隨著樣本量的增加，選擇2-Dfactor（2，2）?模型的比例逐漸增加，且選擇2-Dfactor（2，2）?模型的比例和正確分類率高于4-Cluster和2-Dfactor（2，2）模型；當兩維度高度相關時，LCFA 則傾向于選擇的最優模型為1-Dfactor（2），結果見表2。

3 實例研究

3.1 數據來源及研究因素

實例來自廣州市某年居民社區衛生服務滿意度調查資料。 共包括55 個社區衛生服務中心所屬街道的2992 份有效問卷。 社區衛生服務滿意度調查條目包括尊重患者、責任感、服務態度、隱私保護、解釋交流、提供知識、技術水平和可信任度等8 項服務，每項服務的滿意度均為5 個等級，即很不滿意、不滿意、一般、比較滿意和非常滿意。 分析前先將5個等級轉換為2 個等級，即將非常滿意和比較滿意合并為一類，很不滿意、不滿意和一般合并為一類。經關聯性分析，解釋交流和提供知識的關聯最強（τ＝0．563 4），尊重患者、責任感和服務態度間的關聯中等（兩兩列聯系數τ分別為0．522 2、0．503 7和0．513 8），其他反應條目間的關聯程度為弱相關（τ∈（0．267 2，0．409 1））。

3.2 模型結果

模型擬合結果見表3，對于LCA，根據BIC，模型5-Cluster 為最優；根據AIC 指標，模型8-Cluster 最優；根據L2，類別數大于5 以上模型L2減少的百分比均大于95%。 綜合考慮模型評價指標及模型簡潔性，選擇模型5-Cluster 為最優模型。 對于LCFA，根據BIC 指標，三因子相關模型為最優；根據AIC指標，四因子相關模型為最優模型；從L2來看，則四因子模型和四因子相關模型最優。 綜合考慮選擇三因子相關模型（3-Factor（2，2，2）?）為最優模型。 和LCA 的5 類別模型相比，3-Factor（2，2，2）?的BIC、AIC、L2均較低，且估計的參數（Npar＝38）較少。

模型5-Cluster 和模型3-Factor（2，2，2）?的類別概率和條件概率分布見表4。 表中最左側標目表示5-Cluster 模型的類別，最右側標目表示3-Factor（2，2，2）?模型的類別組合。 對比2 個模型的分類結果可看到，LCFA 的（111） 類，（112） 類，（122） 類，（212）類和（222）類分別類似于LCA 的類別1-類別5 人群。 但LCFA 除發現LCA 中的5 個類別外，還發現3 個類別（121）、（211）、（221）人群。 其中（121）類人群和類別1 人群相比，8 項服務滿意度均較低，運用LCA 模型容易將該類人群歸為類別1；（211）類除尊重患者、責任感、服務態度較為滿意外，還對技術水平和可信任度較為滿意，LCA 模型易把該類人群歸為類別2；（221）類人群對8 項服務的條件概率均在0.30 ～0.64 之間，可認為此類人群對8 項服務均不滿意。

分析LCFA 的3 個因子與8 項服務滿意情況間的因子載荷（見表5），分析結果和各顯變量間關聯系數結果基本吻合。 進一步計算三因子間的列聯系數分別為0.344 2、0.318 8 和0.382 0，因子間存在關聯。

4 討論

本研究通過計算機模擬對LCA 和LCFA 模型在處理分類問題時的效果進行比較，兩種方法均可對異質性群體進行分類，前者僅從單維度對人群分類，后者則從2 個或多個維度分類。 模擬研究結果表明：在兩因子兩水平的理論模型抽樣條件下，當模擬數據兩維度不相關或弱相關時，LCFA 選擇理論模型作為最優模型的比例和正確分類率均高于LCA；當兩維度中度相關時，隨著樣本量的增加，選擇兩因子兩水平且相關的LCFA 比例逐漸增加，且正確分類率較高。 當兩維度高度相關時，LCFA 模型傾向于選擇單因子模型。 這可由兩維度相關性太強，因而可用一個公共因子表示來解釋。 實證分析結果表明，應用LCA 模型可得到5 類異質性亞組人群，但忽略了顯變量間的維度特征，結果缺乏進一步的解釋價值。 但采用LCFA 可從多角度對異質性群體進行分類，分類結果更細化精確。

表2 維度關聯下LCA 和LCFA 擬合指標選擇理論模型的次數（%）和平均正確分類率（%）Table 2 Frequency （%） of selecting theoretical model and the average correct classification rate （%） for LCA and LCFA fitting indicators under dimensional correlation

表3 社區居民對社區衛生服務專業技術的滿意度LCA 和LCFA 模型結果Table 3 Results of LCA and LCFA model on the satisfaction of community residents to the professional technology of community health service

表4 5 分類LCA 和三因子LCFA 分類對滿意度分析的結果比較Table 4 Comparison of the satisfaction analysis results between 5-cluster LCA and 3-factor LCFA

表5 社區服務滿意度的LCFA 分析因子與條目間的因子載荷Table 5 LCFA analysis factors of community service satisfaction and factor load between items

作為LCA 的擴展，LCFA 模型既可用于分類顯變量，也可擴展到有序、連續或計數變量，應用范圍也較為廣泛，而目前對LCFA 的應用研究多針對顯變量為分類變量的情況，如McGrath［6］對精神分裂癥的維度進行探討，Moors［7］對反應模式行為進行分析，而連續型顯變量研究較少。 Magidson［5］通過實例數據對LCFA 和因子分析進行了比較，表明LCFA能很好地擬合數據，且提供的結果比因子分析更容易解釋。 和因子分析相比，LCFA 的參數相對難以解釋，針對此問題，Vermunt［7］等提出了線性近似的最大似然估計法。

LCFA 結合了LCA 和因子分析的思想，不僅可以達到傳統因子分析降維的目的，而且還能對異質性群體進行分類，克服因子分析中顯變量和潛變量均要求正態分布的假設，更擴充了潛在類別模型不滿足局部獨立性假設時的處理方式，具有模型精簡和容易被識別等優勢，在應用上具有廣泛的擴展空間。 此外，類似于因子分析，LCFA 從多個角度來確定異質性群體，使分類維度得以多元化，充分利用了數據的信息。 特別是當因子之間在專業上存在關聯時，可對因子與因子之間的關聯做出估計，有著重要的學術應用價值。