尋求規(guī)律推理論證梳理關(guān)系

◇昝 雪

【作者單位：徐州市銅山區(qū)茅村鎮(zhèn)任莊小學 江蘇】

四年級下學期，我?guī)ьI(lǐng)學生們延伸了雞兔同籠的問題。總體來說，也就是“籠子里有若干只雞和兔子。從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳。問雞和兔子各有幾只？”的問題。雞兔同籠問題并沒有作為我們教材單獨的一章或小節(jié)來學習，但這部分內(nèi)容對于學生分析和解決問題有很大的幫助。經(jīng)過總結(jié)和思考，我發(fā)現(xiàn)解決雞兔同籠問題的重點在于向?qū)W生滲透置換的思想。接下來我會以具體的三種解決方案為例來說明這一點。

一、抬腿法，尋求規(guī)律

根據(jù)題中已知條件，我們可以知道雞和兔子的總數(shù)以及它們加起來腳的數(shù)量。但學生根據(jù)這兩個條件很難找到其中的關(guān)系，從而進行分辨。因此，如果我們讓雞和兔子分別抬起來一半的腿，腳的數(shù)量與頭的數(shù)量就有了比較緊密的聯(lián)系，學生也能很快找出它們之間的關(guān)系。

首先進行分析：一只雞有1個頭、2只腳，一只兔子有1個頭、4只腳，現(xiàn)在已知雞和兔子的總數(shù)以及腳的數(shù)量，但想要找出其中的關(guān)系還是比較困難的。這時候，我們就需要讓雞和兔子“金雞獨立”，將一半的腿抬起，那樣它們腳的數(shù)量就都成為原來的一半。到目前為止，相當于一共有35 個頭和47 只在地上的腳。經(jīng)過分析我們可以得出：抬腿之后，一只雞有1個頭、1只腳，一只兔子有1個頭、2只腳，那么雞的頭和腳的數(shù)量是一樣的，而每只兔子的腳比頭的數(shù)量多1。也就是說，腳比頭多出來的12就都是兔子的數(shù)量。那么最終我們得出了籠子里面有23只雞、12只兔子的結(jié)果。最后進行驗證，發(fā)現(xiàn)結(jié)果是正確的。這個思路是很明確的，但如果每次都這樣進行分析會很煩瑣。因此，我們可以將剛剛的步驟進行總體分析，總結(jié)出公式：兔子的只數(shù)=總腿數(shù)÷ 2-總只數(shù)。學生只要理解后進行公式的記憶，就能夠熟練應(yīng)用了。

在這個過程中，我們相當于將抬腿后雞和兔子腳的數(shù)量以及頭的數(shù)量進行置換，從而找出其中的關(guān)系。只要學生深刻理解了這個方法的原理和計算，并記住公式，就一定能夠掌握。

二、假設(shè)法，推理論證

應(yīng)用抬腿法，我們是通過縮減腳的數(shù)量，找出其中頭和腳緊密的聯(lián)系并進行置換，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律。那同樣的，雞和兔子不同的地方在于腳的數(shù)量。通過假設(shè)法，我們照樣能進行推理和論證，找出結(jié)果。

在這堂課上，為了讓學生深刻地理解，我首先將35只動物全部假設(shè)成兔子的情況向?qū)W生做了解釋：首先，我們假設(shè)35只全部是兔子，那么應(yīng)該一共有35× 4=140只腳，但實際上，只有94只腳，說明其中有一些“兔子”其實是雞；接下來，我們就要具體得出雞的數(shù)量，一只雞比一只兔子少2只腳，那么現(xiàn)在的情況是少了140- 94=46 只腳，說明其中有46÷ 2=23只雞；那么最終結(jié)果為籠子里一共有23只雞和12只兔子。這個結(jié)果與用“抬腿法”求得的結(jié)果一致，驗證成功。接下來，我讓大家詳述將35只動物全部假設(shè)成雞的情況：首先，假設(shè)35只全部是雞，那么應(yīng)該一共有35× 2=70只腳；但實際上，一共有94只腳，說明其中有一些“雞”其實是兔子；接下來，我們就要具體得出兔子的數(shù)量，一只兔子比一只雞多2 只腳，那么現(xiàn)在的情況是多了94-70=24只腳，說明其中有24÷ 2=12只兔子；那么最終結(jié)果為籠子里一共有12 只兔子和23只雞。這與先前得出的結(jié)果一致。

假設(shè)法是通過將雞和兔子的腳進行置換，進而通過邏輯推理得出結(jié)果。這對學生的論證和分析能力有很高的要求。因此，教師一定要讓學生多多練習，自行把握其中規(guī)律的和方法。

三、方程法，梳理關(guān)系

最后一個求解雞兔同籠問題的基本方法是方程法。作為解題的工具，方程的邏輯是最清晰的。但這并不意味著方程法是最簡單的。同樣的，用方程法解題依然需要學生梳理題中的關(guān)系，才能得出正確結(jié)論。

要梳理關(guān)系，首先就需要了解已知條件和求解內(nèi)容，才能從中找出聯(lián)系和轉(zhuǎn)換的方法。在雞兔同籠問題中，我們知道的是雞和兔子加起來頭和腳的數(shù)量，求解的是雞和兔子分別的數(shù)量。那么，首先設(shè)雞的數(shù)量為x只，根據(jù)頭的總數(shù)可得出兔子的數(shù)量為（35- x）。接下來，我們找出的關(guān)系應(yīng)該是：雞的腳+兔子的腳=腳的總數(shù)量。雞的腳為2x只，兔子的腳為4（35- x）只，那么方程式則為2x+4（35-x）=94。解之得，x=23，那么35-x=12，即雞有23只，兔子有12只，結(jié)果正確。接下來，為了鍛煉學生的思維能力和動手能力，我讓大家自行尋找關(guān)系式并求解。有的學生將兔子的數(shù)量設(shè)為x，找的關(guān)系式不變，屬于換湯不換藥的情況。但有一些同學的視角就比較獨特了：設(shè)雞有x只腳，那么兔子一共有（94-x）只腳；接下來，我們要利用雞和兔子的總數(shù)，找出關(guān)系式“雞的數(shù)量+兔子的數(shù)量=總數(shù)量”進行列方程，解之得x=46，那么雞的數(shù)量為46÷ 2=23只，兔子的數(shù)量為12只，結(jié)果同樣正確。

方程法就比較明顯了，是通過將題中已知條件置換為方程未知數(shù)的過程來實現(xiàn)的。相較于前兩種方法來說，方程法的中間轉(zhuǎn)化過程較少，主要通過尋找題中已知關(guān)系式并列方程來求解。

顯然，雞兔同籠問題存在的意義并不僅僅在于問題本身，更多的在于其中蘊含的數(shù)學思想。通過對方法的思考和研究，學生解決問題和分析問題的能力也會有所提升。希望大家可以知難而進，從中找到更多的樂趣。