骰子的組合數探究

四川省宜賓市南溪區第一中學 張玄逸

如果能夠僅僅通過交換而不改變數值得到的組合只算作一個組合，比如——

那么這一組骰子可以擲出多少不同的組合？

可惜的是作者并沒有給出證明過程。

骰子與組合無法直接建立特定倍數關系，因為骰子們點數的種類和數量都是變量。

本文試從公式出發倒推證明過程，最終回歸組合。

一、排序

首先必須把每個數列中的數字重排。有序數組更易發現規律。將其記為ai。

二、構造數組

構造bi，b1表示有幾個1，b2表示有幾個2，以此類推。上述組合可以改寫為：0 2 1 0 2 1，

另外有很明顯的幾點：a1≥1 ；a6≤6 ；ai-1≤ai。

看似平常的三點可以啟發我們構造另一個數組：

令ci=ai-ai-1，即ci為ai的差分數組。

經驗證，兩個數組均可以推導得到公式，因此下文就以更難一點的差分數組來證明。

三、規定

差分數組的含義為當前數字比前一個多了多少，那么c0該等于幾？根據后面的ci范圍為[0，5]，類比得到c0=1，c1∈[0，5]，否則下一步操作無法等價進行。

四、隔板法

現在已經類似于隔板法了，因為最后一個數最多比c0多5，所以有5 個小球。因為最后一個數不一定為6，因此隔板仍需6 塊，而相鄰兩隔板間的距離即為ci。但會導致此種情況。以上文2 2 3 5 5 6 為例。

隔板法不允許兩隔板置于相同空隙中。

抽象數組仍需使用隔板法，只是兩隔板間距含義為使用該數字的個數，且使用數字總數確定，因此需要(6+5)個小球和5 塊隔板。