拋物線與一元二次方程聯合解題常用方法分析

新疆維吾爾自治區喀什地區麥蓋提縣實驗中學 木也色爾·木臺力甫

在初中階段的數學學習中有很多重要的知識點，例如拋物線與坐標軸的交點判定等，這些都是考試的重點。在解決這些問題時，通常會將拋物線與一元二次方程聯合起來，將問題簡化。下面我們主要結合例題，分析拋物線與一元二次方程聯合解題的方法，為開展初中數學教學提供借鑒。

一、將直線與拋物線的交點轉化為根的判別式

（1）求證：該直線與拋物線之間總是存在兩個相交點。

（1）解：根據題意，將代表拋物線與直線的方程聯立成一個方程組，并將該方程組中的兩個方程式進行組合、化簡可以得到這樣的方程式x2-（k+4）x-1=0，因為Δ 大于0，因此該方程有兩個不相等實根，可以判定無論k值是多少，直線與該拋物線總有兩個交點。

解得x、y值，并進一步解得A與B的坐標。

如圖1，過點A作AF⊥x軸于F，過點B作BE⊥x軸于E，因此可計算出AF的值。

所以△AOB的面積等于△AOC和△BOC相加之和。分別計算△AOC和△BOC的面積，進而計算△AOB的面積。

解法2：如圖2，設A的坐標為（x1,y1），B的坐標為（x2,y2），

如圖2，過點A作AF⊥x軸于F，過點B作BE⊥x軸于E，由此可得EF的值。

所以△AOB的面積等于△AOC與△BOC的面積之和，分別計算△AOC與△BOC的面積，將其相加，得出△AOB的面積。

點評：解法1 主要是運用幾何知識進行解題，解法2 是把幾何與系數等結合起來綜合解題，這兩種方法各有各的特點，解法1 需要進行較多的計算，解法2 具有很強的技巧性。這兩種方法在初中階段經常會用到。

二、拋物線與x 軸有唯一交點型

拋物線與x軸只有一個交點，求交點橫坐標最值。

（1）當 時，求k的值。

（2）求證：直線與拋物線之間有兩個交點。

點評：在解答該例題時，需要掌握兩個重點，首先，對交點問題進行轉化，通過判定一元二次方程的兩個根，得出交點的兩個橫坐標，再借助于根與系數的關系，進一步求解。其次，將最值問題轉化成為二次函數，并通過判定二次函數的增減性得出最值。

綜上可知，利用拋物線與一元二次方程聯合解題，能夠由此構建起更加豐富的數學知識網絡，從而更好地理解問題，讓復雜的問題變得簡單化，降低解題難度，并通過靈活應用相關知識有效解決問題，提高解題效率。