巧用圓錐曲線定義妙解高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 張衛(wèi)兵

圓錐曲線是典型的解析幾何，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要包括橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容。在初中一元二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，了解了拋物線最值、頂點(diǎn)、開(kāi)口方向、單調(diào)性等知識(shí)，但是進(jìn)入高中，又新增了橢圓和雙曲線知識(shí)，在原有的基礎(chǔ)上拓展了幾何圖形以及直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題，進(jìn)一步滲透了“數(shù)形結(jié)合”思想，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)模型的重要性。了解圓錐曲線定義能夠在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中快速抓住問(wèn)題本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和解題技巧避繁就簡(jiǎn)式解題，邂逅數(shù)與形的魅力。

一、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中圓錐曲線知識(shí)的考查分析

本文以2000 年到2017 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的“圓錐曲線”試題為研究對(duì)象，進(jìn)行分析、整理、歸納和總結(jié)。“圓錐曲線”是每一年數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重點(diǎn)考查內(nèi)容，所占分值基本在30 分左右，出題頻率高且穩(wěn)定，題型選擇也多種多樣，一般包括選擇題、填空題和解答題，知識(shí)考查包括基礎(chǔ)知識(shí)；其與數(shù)列、不等式、平面向量、函數(shù)等知識(shí)的結(jié)合：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想。

二、圓錐曲線學(xué)習(xí)的重要性

解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展的標(biāo)志性成果，圓錐曲線作為解析幾何的重要組成部分，體現(xiàn)了解析幾何的基本思想和能力。此外，它還是代數(shù)與幾何的橋梁，用以培養(yǎng)學(xué)生利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力。圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)教材中的所占比例較大，知識(shí)重點(diǎn)一直比較多。當(dāng)然，解析幾何又是微積分的基礎(chǔ)，與高等數(shù)學(xué)密切相關(guān)，由此可見(jiàn)，圓錐曲線不僅是高中教學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容，還是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力、數(shù)據(jù)分析能力、空間形象能力的重要途徑。

從高中教材分析來(lái)看，圓錐曲線這部分知識(shí)對(duì)文科、理科的要求不同，安排課時(shí)不同，理科生研究更為深入，難度比較大，重點(diǎn)考查綜合能力，會(huì)涉及向量、不等式、函數(shù)等，不僅要掌握定義、性質(zhì)，還要具有很強(qiáng)的綜合性和轉(zhuǎn)化、化歸能力、分析能力和計(jì)算能力，自身的知識(shí)廣度與深度要達(dá)到一個(gè)新的層次；文科生研究比較基礎(chǔ)，只需要掌握簡(jiǎn)單的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)運(yùn)用能力。

三、巧用橢圓定義妙解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

1.橢圓定義

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|＞0）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)（F1、F2）叫作橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：|PF1|+|PF2|=2a。

一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比為常數(shù)e（0＜e＜1），那么該動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，其中，定直線為準(zhǔn)線，定點(diǎn)為焦點(diǎn)。該定義被稱為橢圓的第二定義。

2.解題范例

剖析：此題首先梳理出題中已知條件和橢圓性質(zhì)之間的關(guān)系，然后再借助定義“橢圓上任意一點(diǎn)與兩定點(diǎn)之間的距離為2a（其中a為橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)）”，最終求得橢圓離心率e。

四、巧用雙曲線定義妙解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

1.雙曲線定義

2.解題范例

解題思路：首先根據(jù)正弦定理得到焦半徑|PF1|和|PF2|，然后再結(jié)合雙曲線定義，求得離心率。

五、巧用拋物線定義妙解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

1.拋物線定義

2.解題范例

解題思路：首先巧用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化，然后將其貫穿整個(gè)解題過(guò)程，最后再根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式，求解出最大值。

由以上敘述可知，圓錐曲線知識(shí)涉獵廣泛，在用定義求解相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)涉及焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，習(xí)慣從曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形入手，再利用勾股定理或正余弦定理進(jìn)行求解。整個(gè)過(guò)程運(yùn)用到了數(shù)形結(jié)合思想、劃歸思想等，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，還可以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，找到最優(yōu)解題途徑，優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行圓錐曲線模塊知識(shí)的訓(xùn)練，讓其感受數(shù)與形的美，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。