基于畢達哥拉斯TODIM和Heronian算子的語言多屬性群決策及應用

岳小云，毛學志，劉思嚴，楊曉靜，邱鳳霞

(河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

模糊集的概念最早是由Zedah[1]提出的，一代又一代的學術研究者們付出了努力，加速了模糊集理論的不斷完善，促使直覺模糊集理論的產生，該理論是由Atanassov[2]提出。由于直覺模糊集在實際應用中的某些情況不滿足適用條件，于是Yager[3]定義了畢達哥拉斯模糊集(Pythagorean Fuzzy Set)及集結算子。Zhang[4]研究了TOPSIS方法在畢達哥拉斯模糊集環境下的應用。Yang[5]針對文獻[4]中定理3.4存在的缺陷，提出了新定理及證明過程。范建平等[6]提出了畢達哥拉斯模糊交叉熵，并用交叉熵代替距離測度，提高了結果的準確性。杜玉琴[7]定義了畢達哥拉斯梯形模糊語言集及其集結算子，并以企業挑選綠色供應商問題為例驗證方法實用性。李進軍等[8]研究了區間畢達哥拉斯模糊集的三類Hamming距離。施明華等[9]和李素勤[10]均提出，在畢達哥拉斯模糊集環境下的多屬性群決策的應用。在屬性和專家權重均未知情形下，Wan等[11～13]拓展相對距離公式、確信度、信息熵和LINMAP方法于畢達哥拉斯模糊群決策，并應用于風險投資、綠色供應鏈和霧霾治理決策。另外，考慮到決策有限理性，Gomes[14]提出了TODIM方法。自TODIM方法提出以來，許多學者擴展到直覺模糊集、多值中智集和猶豫模糊語言集[15～17]。為此，筆者在決策信息為畢達哥拉斯模糊環境下改進TODIM方法，進而運用PF-TODIM方法研究語言多屬性群決策問題，以此解決遠程會診協同質量評估問題。

1 預備知識

1.1 畢達哥拉斯模糊集

定義1[18]設X是一個論域，則畢達哥拉斯模糊集(PFNs)定義為：

P=〈〈x,P(μp(x),vp(x))〉|x∈X〉

(1)

為了更好的運用畢達哥拉斯模糊集，給出畢達哥拉斯模糊集的運算與性質。

定義2[18]給定3個PENsβ1=〈μ1,v1〉,β2=〈μ2,v2〉和β=〈μ,v〉，基本運算有

5)β1∧β2=〈min{μ1,μ2},max{v1,v2}〉

6)β1∨β2=〈max{μ1,μ2},min{v1,v2}〉

7)βc=〈v,μ〉

定義3[19]對于PENβ=〈μβ,vβ,πβ〉，β的得分函數定義

(2)

其中-1≤Sc(β)≤1。

定義4[19]設β1=〈μ1,v1,π1〉和β2=〈μ2,v2,π2〉是2個PFNs，β1和β2的得分函數分別為Sc(β1)和Sc(β2)，則

1) 當Sc(β1)〉Sc(β2)，有β1優于β2，記為β1?β2；

2) 當Sc(β1)〈Sc(β2)，有β1劣于β2，記為β1β2；

3) 當Sc(β1)=Sc(β2)，有β1等于β2，記為β1=β2。

定義5設β1=〈μ1,v1,π1〉和β2=〈μ2,v2,π2〉是2個PFNs，β1和β2之間距離為

(3)

1.2 畢達哥拉斯模糊集的集結算子

(4)

(5)

(6)

則稱PFWGHM算子為畢達哥拉斯加權幾何Heronian算子。

(7)

容易證明PFWGHM算子具有下列性質：

性質1(冪等性)如果所有的i,αi=〈ui,vi〉相等，記αi=α(i=1,2,…,n)，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)=α

α-≤PFWGHM(α1,α2,…,αn)≤α+

性質3(單調性)設αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)和αi′(i=1,2,…,n)兩組PFNs，如果對任意i，有αi≤αi′，則PFWGHM(α1,α2,…,αn)≤PFWGHM(α1′,α2′,…,αn′)。

定義8設p與q為不同時為0的非負實數，αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)為PFN，若有

(8)

則稱PFOWGHM算子為畢達哥拉斯加權幾何Heronian算子，其中αi′表示αi(i=1,2,…,n)中的第i(i=1,2,…,n)大的PFN，權重向量為

n為常數，g∶[0,1]→[0,1]為一個BUM函數，并滿足g(0)=0,g(1)=1以及若x>y則g(x)≥g(y)。

定理2設p與q為不同時為0的非負實數，αi=〈ui,vi〉(i=1,2,…,n)為PFN，由PFOWGHM算子集結得到的值也是PFN，且

(9)

容易證明PFOWGHM算子有下列性質：

性質1(冪等性)如果所有的i，αi=〈ui,vi〉相等，記αi=α(i=1,2,…,n)，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)=α

α-≤PFOWGHM(α1,α2,…,αn)≤α+

性質3(單調性)設αi和αi′(i=1,2,…,n)為2組PFNs，如果對任意i，有αi≤αi′，則

PFOWGHM(α1,α2,…,αn)≤PFOWGHM(α1′,α2′,…,αn′)

2 基于PFN的語言多屬性群決策模型

2.1 多屬性群決策問題描述

2.2 改進TODIM方法

TODIM方法是通過計算總優勢度和總前景值對備選方案進行優選或排序。方法中，關鍵是優勢度的確定，具體如下:

(10)

2) 計算方案Ai的總前景值ζi，這里

(11)

TODIM方法依據總前景值越大，可行方案越優原則。選擇最理想的可行方案或對所有備選方案進行排序。總前景值最大的可行方案是最可取的。相反，具有最小值的可行方案是最差的。

2.3 模型建立

為了有效地處理2.1部分的針對決策信息和屬性權重由語言術語表示的多屬性群決策問題，下面利用PF-TODIM方法進行研究，該方法的關鍵在于考慮了決策者的有限理性。

表1 語言變量與PFNs對應關系

(12)

由決策組εk(k=1,2,…,n)給出屬性Cj(j=1,2,…,m)的語言權重為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，屬性權重最終通過表2來轉化。

表2 語言術語與的對應關系

步驟2群決策矩陣的集結。群決策中，決策者εk(k=1,2,…,n)給出決策權重為σk(k=1,2,…,n)。所有決策者的決策信息通過PFWGHM算子進行集結，記為χ=(xij)l×m，其中

xij=(uAi(Cj),vAi(Cj),πAi(Cj)),i=1,2,…,l；j=1,2,…,m

相應地，χ=(xij)l×m表示為：

(13)

步驟5取θ=2.25，利用式(11)～式(13)計算TODIM方法中的優勢度ψ(Ai,Ak)(i,k=1,2,…,l)和前景值ζi(i=1,2,…,l)。

步驟6對所有可行方案進行排序。依據總前景值ζi越大，方案Ai越優，確定最優方案。

3 實例和對比分析

3.1 實例分析

表3 第1類決策組決策矩陣

表4 第2類決策組決策矩陣

表5 第3類決策矩陣

步驟1利用算子集結為PEN-群決策矩陣，得出

表6 PFN-群決策矩陣

步驟2由于C1，C2，C3，C4是效益型屬性，而C5是成本型屬性， 表6轉化為表7。

表7 規范化畢達哥拉斯群決策矩陣

步驟3屬性權重的確定。結合表2中語言術語和畢達哥拉斯模糊數(PFNs)之間的關系，給出屬性權重信息如表8，由集結算子式(5)、得分函數和權重性質計算得屬性權重ω：ω1=0.20,ω2=0.10,ω3=0.25,ω4=0.23,ω5=0.21。

表8 PFNs表示的屬性權重信息

步驟4通過式(10)計算方案Ai相對方案Ak的總優勢度，結果見(表9)。

表9 方案Ai相對方案Ak的總優勢度

步驟5利用式(11)計算方案A1的前景值A1=0.59，A2=0.00，A3=1.00，A4=0.55，A5=0.35。根據方案前景值越大方案越優的原則，對所有備選方案進行從優到劣排序，結果為：A3?A1?A4?A5?A2。

3.2 對比分析

筆者利用文獻[11～13]中涉及的方法對3.1節實例進行分析。文獻[11]采用畢達哥拉斯模糊TOPSIS方法進行備選方法優選排序，文獻[12]采用基于畢達哥拉斯相對貼近度和交叉信息熵的群決策方法，文獻[13]采用基于畢達哥拉斯相對距離和信息可能度的群決策方法。結果表明，畢達哥拉斯模糊TODIM方法和文獻[11～13]中得到的排序結果有些不同(表10)，筆者采用的畢達哥拉斯模糊TODIM方法得到的A1?A4，而文獻[11～13]得到的是A4?A1。導致不一致的原因在于筆者本次研究考慮了決策者的心理行為因素，而文獻[11～13]是在決策者完全理性的情況下決策的。在現實中，對于不完整的信息或其他一些因素，決策者通常不能提供準確的偏好。也就是決策者在某種程度上是不合理的。畢達哥拉斯模糊TODIM方法可以合理地描述決策者在風險下的心理行為，從而有效地處理上述問題。

表10 多屬性群決策方法比較

4 結論與討論

由于畢達哥拉斯模糊集比直覺模糊集更易于處理現實世界中的模糊信息，筆者采用畢達哥拉斯模糊集探討了語言多屬性群決策問題。首先，由于決策有限理性，借助得分函數等改進TODIM的總優勢度，進而適用于畢達哥拉斯決策環境，拓展了TODIM的適用范圍。其次，考慮到Heronian算子具有優良的性質，比如捕獲變量之間的關聯性，結合Heronian算子建立畢達哥拉斯模糊群決策方法，使集結信息更加準確合理。最后，該方法應用到遠程會診協同服務質量的評價中，進一步驗證了該方法的合理性和有效性。該方法有望應用于其他群決策環境，如工業工程、應急決策、商業管理等。對于TODIM方法，屬性權重的準確與否至關重要，今后應進一步探討畢達哥拉斯模糊決策中屬性權重的確定方法。