時標上二階脈沖動力方程邊值問題正解的存在性

武利猛，張 娟，李素紅，石瑞書

(河北科技師范學院，a 數學與信息科技學院，b 科研處，河北 秦皇島，066004)

脈沖現象是連續變化的動態在某一時刻受到突然變化的影響使得能量驟增或驟減的突變現象。作為描述脈沖現象的脈沖微分方程是描述狀態變量具有連續和跳躍混合的動力方程理論，在生命科學方面有著重要應用[1～10]。

2015年，Fen等[5]考慮了二階脈沖邊值問題

給出了至少存在1個正解的準則。

2016年，Li等[6]考慮了二階脈沖邊值問題

給出了該邊值問題至少存在1個及3個正解的條件。

時標理論發展至今，其內容已逐漸豐富，尤其是有關時標上動力方程的研究已趨于成熟，但有關時標上脈沖動力方程的研究還較少，筆者將研究時標上脈沖動力方程解的情況。

考慮時標上二階脈沖邊值問題

(1)

(2)

(3)

將利用twin不動點定理，得到邊值問題(1)～(3)至少存在2個正解的判別條件，其中

0

φp(s)是p-Laplacian算子，且

始終假設以下條件成立：

(A1)f∈C([0,T]×[0.tif,+∞),[0.tif,+∞));

(A3)ω(t)∈Cld([0,T]T×[0.tif,+∞)),且在[0,T]T上不為0，其中表達式Cld([0,T]T×[0,+∞))表示從T到[0.tif,+∞)所有的左稠密連續函數的集合，T為時標；

(A5) ?y∈P, 存在常數ck使得|Ik(y)|≤ck,k=1,2,…,m。

1 預備知識

為簡化原問題的計算，考慮如下二階脈沖動力方程邊值問題

引理1假定條件(A2)和(A4)成立，若h(t)∈Cld[0,T],h(t)≥0,則y(t)是邊值問題

(4)

(5)

(6)

的解當且僅當

(7)

且y(t)≥0。

故有

(8)

(9)

又由式(6)可知，

進一步

(10)

將式(10)代入式 (9) 得

又已知h(t)≥0,由(A2)和(A4)，易知y(t)≥0。

引理2若y(t)滿足引理1，則y(t)是遞增的凹函數。

定義全連續算子A∶P→E,且

(11)

?y∈P,由(A1),(A3),A的定義及引理1的證明可知

(12)

則?y∈P,Ay是凹的，且遞增非負，即Ay∈P,故A是P→P的算子。

引理4若(A1)～(A5)成立，則A∶P→P是全連續的。

證明因為ω,f,Ik均是連續的，所以A∶P→P也是連續的。

下面證明A:P→P是一致有界的。對任意常數d>0,定義閉球Bd={y∈P:‖y‖≤d},由(A5)及算子A的定義，對任意y∈Bd有

接下來證明族{Ay:y∈Bd}是等度連續的。令t,t1∈[0,T]T,

Bd={y∈P:‖y‖≤d}

因此族{Ay∶y∈Bd}是等度連續的。進一步，由Ascoli-Arzela定理可知，A∶P→P是全連續的。

γ(x)≤θ(x)≤α(x),‖x‖≤Mγ(x)

(B1)γ(Fx)>c,x∈?P(γ,c),

(B2)θ(Fx)

(B3)P(α,a)≠?且α(Fx)>a,x∈?P(α,a),

a<α(x1),θ(x1)

2 邊值問題的正解存在性

則邊值問題 (1)～(3) 至少存在2個正解y1,y2,滿足

證明已知0<ξ1<ξn-2

P(ρ,c)={y∈P∶ρ(y)

(1)驗證引理5中的條件(B1)成立。選取y∈?P(ρ,c),則ρ(y)=y(ξ1)=c,從而y(t)≥c,t∈[ξ1,ξn-2]。又易知

ρ(Ay)=Ay(ξ1)

=c

因此，引理5中的條件(B1)成立。

θ(Ay)=Ay(ξ1)

=b

引理5中的條件(B2)成立。

ω(Ay)=Ay(ξn-2)

=a

故引理5中的條件(B3)成立。

a<ω(y1),θ(y1)

3 舉例

令T=[0,1]考慮邊值問題

(13)

則邊值問題 (13) 至少有2個正解存在。

(1)當(t,y)∈[0,1]×[0,2]時，f(t,y)=50,此時，

(2)當[0,1]×[0,40]時，f(t,y)=50,又

因此，由定理1可知邊值問題 (13) 至少有2個正解。