一類具有分布時滯Emden-Fowler方程的振動性

邸聰娜，滕 博

(河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

由于Emden-Fowler型微分方程被廣泛地應用于許多重要領域，如核物理學、天體物理、流體力學等，而引起了學者們極大的關注，并且取得了一系列成果[1～7]。

筆者考慮討論一類二階Emden-Fowler型分布時滯微分方程

(1)

(H5)f(t,u)∈C([t0,∞]×R,R)，存在函數q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞))，使得|f(t,u)|≥q(t,ξ)|uβ|,β>0。

1 引 理

2 主要結果及證明

為了方便起見，引入下列記號

定理2設條件(H1)～(H5)成立，且存在函數φ∈C1([t0,∞),(0,∞))，使得當α≥β時，滿足

(2)

當α<β時，滿足

(3)

(4)

證明反證法。設方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設x(t)為最終正解(當x(t)為最終負解時，令y(t)=-x(t)，則類似可證)，則存在t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0，x(τ(t,ξ))>0，x(σ(t,ξ))>0。由函數z(t)的定義有z(t)≥x(t)>0(t≥t1)，且由條件(H5)得到

(5)

(5)式說明r(t)|z′(t)|α-1z′(t)嚴格單調減少且最終定號，進而z′(t)也最終定號，所以z′(t)最終為正或最終為負，故只要考慮下列2種情形：

(Ⅰ)z′(t)>0(t≥t1);(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。

令u→∞，則有

(6)

(7)

另一方面，由函數z(t)的定義，(7)式及x(t)≤z(t)可得

所以

(8)

作Riccati變換

(9)

顯然，w(t)>0(t≥t1)。對(9)式兩邊求導并利用(5)(8)式及r(t)(z′(t))α≤r(σ(t,ξ))(z′(σ(t,ξ)))α，得

(10)

當α≥β時，由于當t≥t1時，z(t)>0，z′(t)>0，所以當t≥t1時

z(σ(t,ξ))≥k1

(11)

(12)

于是，利用(9)(11)(12)式，由(10)式得

(13)

這與(2)式矛盾。

當α<β時，由(10)式，并利用(9)(11)及引理，類似地可得

(14)

兩邊從t1到t積分，得

這與(3)式矛盾。

情形(Ⅱ)z′(t)<0(t≥t1)。因為r(t)|z′(t)|α-1z′(t)=r(t)(-z′(t))α-1z′(t)在[t1,∞)上嚴格單調減少，故r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t)(-z′(t))αz′(t),s≥t≥t1，即z′(s)≤r1/α(t)z′(t)r-1/α(s)，s≥t≥t1，同情形(Ⅰ)中的證明，可得到(6)(7)(8)式仍成立。作Riccati變換

(15)

則v(t)<0(t≥t1)，由(15)式，并注意到(5)式，則有

(16)

根據(5)式，當s≥t1時，有

r(s)(-z′(s))α-1z′(s)≤r(t1)(-z′(t1))α-1z′(t1)=-k(k>0是常數)

(17)

若α>β，由z(t)>0,z′(t)<0(t≥t1)得，z(t)≤z(t1)=M，即zβ-α(t)≥Mβ-α。

若α=β，則zβ-α=1，注意函數π(t)的定義，于是就有

zβ-α(t)≥π(t)

(18)

因為z′(t)<0，故由(8)式可知

(19)

利用ψ(t)的定義，由(18)(19)式可得

=ψ(t)

將之代入(16)式，則有

(20)

(20)式兩邊同乘(t-s)w后積分，得

這與條件(4)矛盾。證畢。

3 結 論

具有分布時滯微分方程的振動理論是微分方程振動理論的重要內容。本次研究利用Riccati變換、不等式放縮技巧以及分類討論等方法討論了分布時滯方程(1)在非正則條件下的振動準則，并且去掉了對r′(t)>0的限制。所得結果在豐富了該類方程已有結論的同時，也擴大了該類方程在生物學、經濟學以及物理學等方面的應用范圍。