非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規Hermite元分析

張步英，呂金鳳，孔 亮，鄭俊玲

(河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

非線性Sobolev方程作為一類重要的數學物理方程，可用于描述多種物理現象，如流體在巖層中的流動、不同介質中的熱傳導過程等[1,2]。關于帶有Dirichlet邊界條件的非線性Sobolev方程已有較多研究成果[3～5]。與Dirichlet邊界條件相比，非線性邊界條件的存在使得連續問題變分形式中增加了邊界項部分，從而，在半離散格式構造時需要考慮邊界項逼近格式設計，這就使得其理論分析較Dirichlet邊界條件的情況更加困難。因此，關于帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程數值解法的研究成果很少。1992年，Lin等[6]基于真解的非經典Ritz投影，得到了一類帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程半離散Galerkin格式下逼近解與真解L2模最優誤差估計結果，但關于H1模意義下的逼近情況并未討論。2019年，李先枝[7]采用文獻[8]的方法，結合標準p次矩形元的性質，對一類帶有非線性邊界條件的線性Sobolev方程低階混合元方法的超逼近與超收斂進行了研究。

非常規Hermite元由于其特殊構造及性質[9]，受到國內外學者的青睞。該單元已經被應用于多種類型偏微分方程數值解法的研究，如反應-擴散方程[10]、半線性粘彈性方程[11]、非線性拋物積分微分方程[12]等。然而，關于帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規Hermite元方法的研究至今未見報道。 筆者對一類帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規Hermite元方法進行研究。其中，第1部分給出了模型問題及其半離散格式；第2部分結合單元構造，對非常規Hermite元的性質進行分析，得到了精細的插值逼近性質；第3部分研究了半離散格式下逼近解與真解的超逼近性質；第4部分利用插值后處理技術得到了逼近解與真解在H1模意義下的整體超收斂結果。

1 模型問題及半離散格式

考慮下述帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程[6]

(1)

其中，Ω是一個平面有界開區域，?Ω為其光滑邊界。a(u),b(u),c(u),f(u),g(u)及u0(x)均為已知函數，且滿足下述假設條件A*:

(i) 0

(ii)a(u),b(u),c(u)具有有界導函數，并設其具有相同界值，記為K*；

(iii)g(u),f(u)滿足Lipschitz連續，并設其具有相同的Lipschitz常數，記為K*。

(1)式的Galerkin變分形式為：求u(·,t)∶(0,T)→H1(Ω), 使得?v∈H1(Ω)，有

(2)

其中，(·,·)和〈·,·〉分別表示定義在Ω和?Ω上的函數內積運算符號。

關于非常規Hermite單元的構造參見文獻[9]，在此，記相應的有限元空間為

將(2)式的Galerkin逼近格式定義為：求U(·,t)∶(0,T)→Vh，使得對于?v∈Vh，有

(3)

其中,I∶H2(Ω)→Vh表示相應的有限元插值算子。

由文獻[6]可知，半離散逼近問題(3)存在唯一解。

2 相關引理

本節結合單元構造特點，得到了一個關于Hermite元的精細插值逼近性質，并由此得到了在超逼近分析中需要的重要引理。

在本節及后續分析中，將定義在Ω和?Ω上的范數分別記作‖·‖s=‖·‖Hs(Ω)，‖·‖0=‖·‖L2(Ω)，|·|0=|·|L2(?Ω)；論證過程中出現的常數C均表示與h無關的正常數，不同的地方表達的值可能有所不同。

采用與文獻[9]類似的方法，可得下述引理2.1成立。

引理2.1設u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω)，Iu及Iut分別表示u(·,t)及ut(·,t)在Vh空間中的插值函數,那么，?v∈Vh有

(4)

(5)

引理2.2設u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω),a(u),b(u)∈W1,∞(Ω)×(0,T),，則?v∈Vh有

(6)

(7)

證明：下面對(6)式進行證明。

類似地，可以證明(7)式的成立性。引理2.2證畢。

由文獻[6]可得如下2個重要結果成立。

(8)

同時，如果v(·,t)∈H1(Ω)且v(·,0)=0，那么

(9)

3 超逼近性分析

定理3.1設u和U分別為(2)和(3)的解，u(·,t),ut(·,t)∈L∞((0,T);H4(Ω))，那么

‖U-Iu‖L∞(H1)+‖Ut-Iu‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

證明：?v∈Vh，由格林公式可得

(10)

記θ=U-Iu,w=u-Iu，由(3)式與(10)式作差可得誤差方程為

(11)

在(11)式中令v=θ，并對其兩邊關于t積分，由θ(·,0)=0可得

(12)

下面，對Nt，1≤i≤12進行估計。

由假設A*，插值定理及Cauchy不等式可得

(13)

由引理2.2及Young不等式可得

(14)

由插值定理可得

‖Iut‖L∞(L2)≤‖ut-Iut‖L∞(L2)+‖ut‖L∞(L2)≤C‖ut‖L∞(H1)

(15)

結合假設A*及(15)可得

(16)

類似的

(17)

利用(8)式，得

(18)

同理，

(19)

設h充分小，做如下歸納假設

‖θt‖L∞(L∞)≤1

(20)

那么，由假設A*及(20)式，可得

(21)

類似的

(22)

利用假設A*及(13)～(22)式，可得

利用Gronwall不等式，有

即

‖θ‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(23)

進一步地，令(11)式中v=θt，采用類似的方法可得

‖θt‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(24)

下面，證明歸納假設的成立性。由逆不等式，可得

‖θt‖L∞(L∞)≤C‖θt‖L∞(H1)h-2≤Ch

(25)

也就是說，(25)式左側是h→0時的無窮小量，從而歸納假設是合理可行的。

定理3.1證畢。

4 超收斂性分析

(26)

(27)

(28)

定理4.1在定理3.1的條件下，有

‖U-u‖L∞(H1)+‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

證明:由三角不等式、定理3.1及(26)～(28)式，可得

≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

類似地，

‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

定理4.1證畢。

5 結 論

通過對帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規Hermite元方法進行探討，得到了半離散格式下逼近解與真解H1模整體超收斂結果。

對于非線性邊界條件，直接在半離散逼近格式中增加了邊界項部分，將其轉化成?Ω上常規非線性項誤差估計進行處理；同時，將半離散問題的初值設計為原問題初值的插值，避免了非經典橢圓投影帶來的計算復雜度。該思路對于帶有非線性邊界條件的發展方程研究具有借鑒價值。關于非常規Hermite元，得到了2個精細的插值逼近性質。結合論證過程可見，這2個性質對于超逼近結果是至關重要的。從而，進一步拓展了非常規Hermite單元的應用范圍。